Question

“神舟”六號飛船完成了預定空間科學和技術試驗任務后，返回艙于2005年10月17日4時11分開始從太空向地球表面按預定軌道返回。在離地l0km的高度返回艙打開阻力降落傘減速下降，返回艙在這一過程中所受空氣阻力與速度的平方成正比，比例系數（空氣阻力系數）為k。已知返回艙的總質量M =3000kg，所受空氣浮力恒定不變，且認為豎直降落。從某時刻起開始計時，返回艙的運動v — t圖象如圖中的AD曲線所示，圖中AB是曲線在A點的切線，切線交于橫軸于B點的坐標為（ 10，0 ），CD是AD的漸近線，亦是平行于橫軸的直線，交縱軸于C點，C點的坐標為（ 0，6 ）。請解決下列問題：（取g=10 m/ s²）

   （1）在初始時刻v₀ = 160m/s時，它的加速度多大?

   （2）推證空氣阻力系數k的表達式并算出其數值；

   （3）返回艙在距地高度h = 10m時, 飛船底部的4個反推力小火箭點火工作, 使其速度由6m/s迅速減至1m/s后落在地面上。 若忽略燃料質量的減少對返回艙總質量的影響, 并忽略此階段速度變化而引起空氣阻力的變化, 試估算每支小火箭的平均推力（計算結果取兩位有效數字）。

Answer 1

（1）16m/s²（2）1 . 88 kg / m   （3）1.3×10³ N

解析:

⑴ 根據速度圖象可知, 在初始v₀ =160m/s時，過A點切線的斜率即為此時的加速度，設為a₁, 其大小為

a₁ = = m/s² = 16m/s²                         --------------（4分）

    ⑵ 由圖知, 返回艙的v—t圖的斜率逐漸減小， 最后是以v₁ =6m/s的速度作勻速運動.設返回艙所受空氣浮力為f，在t =0時，根據牛頓第二定律則有：

        Kv₀² + f–Mg = Ma₁．    ①                          --------------（2分）

速度為 v₁ = 6 m/s 時，返回艙受力平衡，即有：

        Kv₁² + f–Mg = 0        ②                         -------------- （2分）

      由①、② 兩式解得：k =                       --------------（2分）

      代入數值得：k = kg / m = 1 . 88 kg / m         --------------（2分）

⑶由題意知，在距地高度h = 10m前，返回艙已處于勻速運動狀態，返回艙所受浮力、阻力與重力的合力已持續為0。故返回艙在著地減速期間的加速度實際由4個小火箭的反推力共同產生。設每支小火箭的平均推力為F₀ , 反推加速度大小為a₂, 著地速度為v₂，根據牛頓第二定律

4F₀ = M a₂                        ③         --------------（2分）

( 或  Kv₁² + f–Mg+ 4F₀ = M a₂  )

由運動學公式知：   v₂² ―v₁² =–2 a₂ h            ④         --------------（2分）

由③、④兩式解得：

     F₀ = = N = 1.3×10³ N    --------------（2分）