Question

物理學中庫侖定律和萬有引力定律有相似的表達形式．對帶異種電荷的兩粒子組成的系統而言，若定義相距無窮遠處電勢能為零，則相距為r時系統的電勢能可以表示為E p=-k

Q1Q2

r

．
（1）若地球質量為m₁，某人造地球衛星質量為m₂，也定義相距無窮遠處引力勢能為零，寫出當地心與衛星相距R時該系統引力勢能表達式．（地球可看作均勻球體，衛星可看成質點）
（2）今有一顆衛星貼著地球表面繞行時速度大小為v=7.90km/s，當該衛星在離地面高度為h=3R_地處繞行時，繞行速度v為多大？（R_地為地球半徑）
（3）若在離地面高度為3R_地處繞行的衛星質量為1t，則至少需要對該衛星補充多大的能量才能使其脫離地球的束縛？

Answer 1

（1）由類比可知，該系統引力勢能表達式為：EP=-G

m1m2

R

        
（2）由萬有引力提供向心力　G

m1m2

R2

=m2

v2

R

                     
得v=

Gm1 R

，
則有，

v

v′

=

R′ R

                      
上式中R′=（R_地+h）=4R_地                                 
因R=R_地            
又v=7.9km/s
解得 　v′=3.95km/s                                       
（3）衛星在該處的動能：
 EK=

1

2

mv2=

1

2

×1×103×（3.95×10³）²J=7.8×10⁹J         
由   EK=

1

2

m2v2=G

m1m2

2R

系統的勢能：EP=-G

m1m2

R

=-2EK                        
得系統的機械能：E_機=E_K+E_P=-E_K=-7.8×10⁹J          
則需要給衛星補充的能量：E_補=-E_機=7.8×10⁹J
答：（1）當地心與衛星相距R時該系統引力勢能表達式為：EP=-G

m1m2

R

；  
（2）該衛星在離地面高度為h=3R_地處繞行時，繞行速度為3.95km/s；
（3）至少需要對該衛星補充7.8×10⁹J的能量才能使其脫離地球的束縛．