Question

【題目】如圖為某自動投放器的示意圖，其下半部AB是一長為R的豎直管道，上半部BC是半徑為R的四分之一圓弧光滑軌道，AB管內有一原長為R、下端固定的輕質彈簧．投放時，若將彈簧長度壓縮了0．5R后鎖定，在彈簧上端放置一個可視為質點且質量為m的小球，解除鎖定，彈簧可將小球彈射出去．當小球到達頂端C時，對軌道壁的壓力恰好為零，不計一切阻力，且鎖定和解除鎖定時，均不改變彈簧的彈性勢能．已知重力加速度為g，求：

（1）小球到達頂端C時的速度大小v1；

（2）彈簧壓縮了0．5R時的彈性勢能Ep1；

（3）若將彈簧壓縮了0．6R時，彈簧彈性勢能為Ep2=Ep1，小球落地點離OO′的水平距離s是多少？

Answer 1

【答案】（1）魚餌到達管口C時的速度大小；（2）彈簧壓縮到0．5R時的彈性勢能Ep=2mgR；（3）若將彈簧壓縮了0．6R時，彈簧彈性勢能為Ep2=Ep1，小球落地點離OO′的水平距離是4．2R

【解析】

試題分析：（1）質量為m的魚餌到達管口C時做圓周運動的向心力，完全由重力提供，

則mg=m …①

由①式解得：v1= …②

（2）從彈簧釋放到最高點C的過程中，彈簧的彈性勢能全部轉化為魚餌的機械能，由系統的機械能守恒定律有Ep=mg（0．5R+R）+ mv12 …③

由②③式解得：Ep=2mgR…④

（3）設其到達管口C時速度大小為v2，由機械能守恒定律得：Ep2=mg（0．6R+R）+mv22 …⑤

魚餌離開管口C后做平拋運動，設經過t時間落到水面上，離OO'的水平距離為x，由平拋運動規律有：x=v2t+R…⑥ h=2R=gt2 ⑦

由⑤⑥⑦式解得：x=4．2R