Question

為了研究過山車的原理，某興趣小組提出了下列設想：取一個與水平方向夾角為37°、長為的粗糙傾斜軌道，通過水平軌道與豎直圓軌道相連，出口為水平軌道，整個軌道除 段以外都是光滑的。其與 軌道以微小圓弧相接，如圖所示．一個小物塊以初速度v₀＝4.0m/s從某一高處水平拋出，到點時速度方向恰好沿 方向，并沿傾斜軌道滑下．已知物塊與傾斜軌道的動摩擦因數 μ = 0.50．（＝10m/s²、sin37°＝0.60、cos37°＝0.80）

⑴求小物塊到達點時速度。
⑵要使小物塊不離開軌道，并從軌道滑出，求豎直圓弧軌道的半徑應該滿足什么條件？
⑶為了讓小物塊不離開軌道，并且能夠滑回傾斜軌道，則豎直圓軌道的半徑應該滿足什么條件？

Answer 1

⑴v_A=" 5" m/s⑵R₁ ≤ 0.66m⑶R₂ ≥ 1.65m

⑴ 小物塊先做平拋運動，然后恰好沿斜面AB方向滑下，
則v_A = v₀ / cos37°                 （2分）
得v_A=" 5" m/s，                    （1分）
⑵ 物體在斜面上到的摩擦力F _f = μF_N = μmgcos37°    
設物塊到達圓軌道最高點時的最小速度為v₁，軌道半徑為 R₀，
則mg = mv₁²/R₀                                       （1分）
物塊從拋出到圓軌道最高點的過程中，根據動能定理有：
mg(h + lsin37° – 2R₀) – μmgcos37°·l = mv₁²/2 – mv₀²/2.            （2分）
聯立上式，解得R₀ = 0.66m                                   （1分）
若物塊從水平軌道 DE 滑出，圓弧軌道的半徑滿足 R₁ ≤ 0.66m    （1分）
⑶ 為了讓小物塊不離開軌道，并且能夠滑回傾斜軌道 AB，則物塊在軌道上上升的最大高度須小于或等于軌道的半徑，設軌道半徑的最小值為R′₀，則
mg(h + lsin37°) – μmgcos37°·l – mg R′₀ =" 0" – mv₀²/2   （2分）
解得                         R′₀= 1.65m                   （1分）
物塊能夠滑回傾斜軌道 AB，則 R₂ ≥ 1.65m                   （1分）
其它列式正確同樣給分
本題考查平拋運動規律，圓周運動規律、動能定理的應用，根據平拋運動規律起初A點速度，在最高點只有重力提供向心力速度大小，根據動能定理求半徑R0