Question

（2009?宜昌模擬）如圖（a）所示，M、N為中心開有小孔的平行板電容器的兩極板，相距D=1m，其右側為垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度B=l×10^-3T，磁場區域足夠長，寬為d=0.01m；在極板M、N之間加有如圖（b）所示交變電壓，M板電勢高于N板時電壓為正．現有帶正電粒子不斷從極板M中央小孔處射入電容器，粒子的初速度可忽略不計；其荷質比q/m=2×10¹¹C/kg，重力不計，試求：
（1）t=0時進入電容器內的粒子經多長時間才能進入磁場？
（2）t=0時進入電容器內的粒子射出磁場時向上偏移的距離．
（3）在交變電壓第一個周期內，哪些時刻進入電容器內的粒子能從磁場的右側射出來？

Answer 1

分析：根據牛頓第二定律求粒子在電容器中的加速度，然后由運動學公式求出時間；
根據動能定理求粒子到達磁場時的速度，然后由牛頓第二定律求出磁場中圓周運動的半徑，結合幾何知識求偏移的距離L；
恰好與右邊界相切為從右邊界射出的臨界情況，結合動能定理和運動學公式計算判斷．

解答：解：（1）粒子進入電容器，其加速度a=

U

D

?

q

m

…①
假設能在

T

2

時間以內穿過電容器，則有

1

2

at²=D…②
由以上兩式并代入數據得：t=

2

2

×10-6s
t＜

T

2

符合假設，故粒子經7.1×10^-6s到達磁場．
（2）設粒子到達磁場時的速率為v
由動能定理得：qU=

1

2

mv2…③
粒子進入磁場在洛侖茲力作用下做勻速圓周運動，其半徑為R，有
qvB=

mv2

R

…④
粒子運動軌跡如圖，由幾何知識有：
（R-L）²+d²=R²…⑤
根據③④⑤式得粒子向上偏移的距離
L=(

2

-1)×10 -2m=4.1×10^-3m…⑥
（3）如果粒子在磁場中的軌跡恰好與右邊界相切，則半徑R₀=d，對應速度為v₀
設在電場中先加速位移x，后減速位移D-x
由動能定理：

qU

D

x-

qU

D

(D-x)=

1

2

mv

2 0

…⑦
加速位移x需要時間為t，x=

1

2

at2…⑧
由④⑥⑦⑧得　t=

150

2

×10-7s　…⑨
故需在0-（

T

2

-t）內進入電容器，即在0-3.9×10^-7s進入．
答：（1）t=0時進入電容器內的粒子經時間t=

2

2

×10-6s才能進入磁場；
（2）t=0時進入電容器內的粒子射出磁場時向上偏移的距離4.1×10^-3m．
（3）在交變電壓第一個周期內，在0-3.9×10^-7s進入進入電容器內的粒子能從磁場的右側射出來．

點評：本題主要考查了電子在電場和磁場中運動問題，要求同學們能正確分析粒子的受力情況和運動情況，畫出粒子運動的軌跡，并結合幾何關系求解，難度較大．