Question

如圖甲所示，兩根足夠長的平行導軌處在與水平方向成θ角的斜面上，θ=37⁰，導軌電阻不計，間距L=0.3m．在斜面上加有磁感應強度B=1T、方向垂直于導軌平面向上的勻強磁場．導軌底端接一個阻值R=1Ω的電阻．質量m=1kg、電阻r=2Ω的金屬棒ab橫跨在平行導軌間，棒與導軌間的動摩擦因數μ=0.5，金屬棒從距底端高為h₁=2.0m處以平行于導軌向上的初速度v₀=10m/s上滑，滑至最高點時高度為h₂=3.2m，sin37°=0.6，cos37°=0.8，取g=10m/s²．
（1）求ab棒上升至最高點的過程中，通過電阻R的電量q和電阻R產生的焦耳熱Q．
（2）若ab棒固定在導軌上的初始位置，磁場按圖乙所示規律變化（2.5×10^-2～7.5×10^-2s內是正弦規律變化），電阻R在一個周期內產生的焦耳熱為Q=5J，取π²=10，求B₀．

Answer 1

分析：（1）由公式q=It，I=

E

R+r

，E=N

△?

△t

聯立可求得通過電阻的電量，再由能量守恒定律，可得通過電阻的熱量．
（2）分時間段，利用法拉第電磁感應定律，閉合電路歐姆定律，及焦耳定律可求出各時間段的熱量與磁感應強度的關系，從而由電阻R在一個周期內產生的焦耳熱，可求出磁感應強度．

解答：解：（1）ab棒上升至最高點的過程中，由電量q=It，
閉合電路歐姆定律，I=

E

R+r

產生感應電動勢，E=N

△?

△t

則通過電阻R的電量：
q=

△?

R+r

=

BLX

R+r

=

1×0.3×1.2/0.6

3

=0.2c   
ab棒上升至最高點的過程中，由能量守恒定律可得：

1

2

m

v

2 0

=mg(h2-h1)+

μmgcos370(h2-h1)

sin370

+Q   
   解之得：Q=30J       
電阻R上的熱量：Q_R=

Q

3

=10J  
（2）在0～

T

4

內，E1=

B0

T/4

S=

4B0

T

=40B0  
   I1=

E1

R+r

=

40B0

3

    
 Q1=

I

2 1

R

T

4

=

4 0B 2 0

9

  
在

T

4

～

T

2

內，E2m=B0Sω=

2πB0S

T

   
E2=

2πB0S

2 T

 
 I2=

E2

R+r

=

2πB0S

2 T(R+r)

=

10 2 πB0

3

Q2=

I

2 2

R

T

2

=(

10 2 πB0

3

)2×1×

0.1

2

=

10π2 B 2 0

9

=

100 B 2 0

9

           
在

3T

4

～T內 Q₃=Q₁=

4 0B 2 0

9

        
    

4 0B 2 0

9

+

100 B 2 0

9

+

4 0B 2 0

9

=5J  
解得：B₀=0.5T   
 答：（1）求ab棒上升至最高點的過程中，通過電阻R的電量q為0.2C和電阻R產生的焦耳熱Q為10J．
（2）若ab棒固定在導軌上的初始位置，磁場按圖乙所示規律變化（2.5×10^-2～7.5×10^-2s內是正弦規律變化），電阻R在一個周期內產生的焦耳熱為Q=5J，取π²=10，則B₀為0.5T．

點評：考查焦耳定律、法拉第電磁感應定律、閉合電路歐姆定律、能量守恒定律，讓學生掌握基礎知識，形成基本解題能力．同時在第（1）中，求產生的熱量時，特別注意電阻的熱量并不是電路的產生的熱量．還有第（2）問中，在

T

4

～

T

2

內，產生的交變電流，因此求熱量時，需要用有效值計算．