Question

（15分）如圖所示，質量M =" 4.0" kg的長木板B靜止在光滑的水平地面上，在其右端放一質量m =" 1.0" kg的小滑塊A（可視為質點）。初始時刻，A、B分別以v₀ = 2.0m/s向左、向右運動，最后A恰好沒有滑離B板。已知A、B之間的動摩擦因數μ = 0.40，取g =10m/s²。求：

⑴A、B相對運動時的加速度a_A和a_B的大小與方向；
⑵A相對地面速度為零時，B相對地面運動已發生的位移x；
⑶木板B的長度l。

Answer 1

（1）a_A= 4.0m/s² 方向水平向右    a_B=1.0m/s²  方向水平向左（2）x = v₀t-a_Bt² = 0.875m（3）1.6m

試題分析：⑴A、B分別受到大小為μmg的力的作用，根據牛頓第二定律
對A物體：μmg = ma_A          1分
則a_A =" μg" = 4.0m/s²         1分
方向水平向右          1分
對B物體：μmg = Ma_B               1分
則a_B ="μmg" /M = 1.0m/s²                1分
方向水平向左                      1分
⑵開始階段A相對地面向左做勻減速運動，速度為0的過程中所用時間為t₁，則
v₀ = a_At₁，則t₁ = v₀/a_A = 0.50s         1分
B相對地面向右做減速運動x = v₀t-a_Bt² = 0.875m       1分
⑶A向左勻減速運動至速度為零后，相對地面向右做勻加速運動，
加速度大小仍為a_A = 4.0m/s²；
B板向右仍做勻減速運動，
加速度大小仍a_B = 1.0m/s²；        1分
當A、B速度相等時，A相對B滑到最左端，恰好不滑出木板，
故木板B的長度為這個全過程中A、B間的相對位移；       1分
在A相對地面速度為零時，B的速度v_B = v₀ – a_Bt₁ =" 1.5m/s"        1分
設由A速度為零至A、B相等所用時間為t₂，則 a_At₂ = v_B – a_Bt₂，
解得t₂ = v_B/(a_A + a_B) = 0.3s；
共同速度v = a_At₂ =" 1.2m/s"          1分
A向左運動位移x_A = (v₀－ v)(t₁ + t₂)/2 =" (2" – 1.2)(0.5 + 0.3)/2 m = 0.32m      1分
B向右運動位移x_B = (v₀+ v) (t₁ + t₂)/2 =" (2" + 1.2)(0.5 + 0.3)/2 m 1.28m       1分
B板的長度l = x_A + x_B = 1.6m       1分
（其他：能量守恒定律μmgl=(M + m)v₀²–(M + m)v²，代入數據解得l = 1.6m圖像解法l==1.6m或其他解法正確皆可）
本題是木塊在木板滑動的類型，運用牛頓第二定律、運動學、動量守恒和能量守恒結合求解比較簡便，也可以采用圖象法求解．