Question

（20分）如圖甲，在x >0的空間中存在沿y軸負方向的勻強電場和垂直于xOy平面向里的勻強磁場，電場強度大小為E，磁感應強度大小為B。一質量為m，帶電量為q（q>0）的粒子從坐標原點O處，以初速度v₀沿x軸正方向射入，粒子的運動軌跡見圖甲，不計粒子的重力。

⑴求該粒子運動到y=h時的速度大小v；

⑵現只改變入射粒子初速度的大小，發現初速度大小不同的粒子雖然運動軌跡（y-x曲線）不同，但具有相同的空間周期性，如圖乙所示；同時，這些粒子在y軸方向上的運動（y-t關系）是簡諧運動，且都有相同的周期。

Ⅰ．求粒子在一個周期T內，沿x軸方向前進的距離s；

Ⅱ．當入射粒子的初速度大小為v₀時，其y-t圖像如圖丙所示，求該粒子在y軸方向上做簡諧運動的振幅A_y，并寫出y-t的函數表達式。

 

Answer 1

（1）（2）Ⅰ．Ⅱ．

解析:（1）由于洛侖茲力不做功，只有電場力做功，由動能定理有

                   ①

由①式解得　v =          ②

（2）Ⅰ．由圖乙可知，所有粒子在一個周期T內沿x軸方向前進的距離相同，即都等于恰好沿x軸方向勻速運動的粒子在T時間內前進的距離。設粒子恰好沿x軸方向勻速運動的速度大小為v₁，則

qv₁B = qE                     ③

又　s = v₁T                   ④

式中T =

解得　s =         ⑤

Ⅱ．設粒子在y方向上的最大位移為y_m（圖丙曲線的最高處），對應的粒子運動速度大小為v₂（沿x軸），因為粒子在y方向上的運動為簡諧運動，因而在y = 0和y = y_m處粒子所受的合外力大小相等，方向相反，則

            ⑥

由動能定理有    ⑦

又　A_y =                             ⑧

由⑥⑦⑧式解得　A_y =

可寫出圖丙曲線滿足的簡諧運動y-t函數表達式為y =