Question

在某一真空空間內建立xOy坐標系，從原點O處向第I象限發射一荷質比

q

m

=104C/kg的帶正電的粒子（重力不計）．速度大小v₀=10³ m/s、方向與x軸正方向成30°角．

（1）若在坐標系y軸右側加有勻強磁場區域，在第I、Ⅳ象限，磁場方向垂直xOy平面向外B=1T，求粒子做勻速圓周運動的軌道半徑R？
（2）若在坐標系y軸右側加有勻強磁場區域，在第I象限，磁場方向垂直xOy平面向外；在第Ⅳ象限，磁場方向垂直xOy平面向里；磁感應強度為B=1T，如圖（a）所示，求粒子從O點射出后，第2次經過x軸時的坐標x₁．
（3）若將上述磁場均改為如圖（b）所示的勻強磁場，在t=0到t=

2π

3

×10-4s時，磁場方向垂直于xOy平面向外；在t=

2π

3

×10-4s到t=

4π

3

×10-4s時，磁場方向垂直于xOy平面向里，此后該空間不存在磁場，在t=0時刻，粒子仍從O點以與原來相同的速度v₀射入，求粒子從O點射出后第2次經過x軸時的坐標x₂．

Answer 1

分析：洛倫茲力提供向心力，可以求出粒子運動的半徑；根據題目提供的條件，正確畫出粒子運動的軌跡，進而確定各點之間的關系．

解答：解：（1）設粒子的軌道半徑r，洛倫茲力提供向心力，有qvB=m

v2

r

，r=0.1m
（2）粒子在x軸上方和下方的磁場中做半徑相同的勻速圓周運動，其運動軌跡如圖 （a）所示．由幾何關系知粒子第二次經過x軸的坐標為x₁=2r=0.2 m．
（3）設粒子在磁場中做圓周運動的周期為T．
則T=

2πm

Bq

=2π×10-4s．
據題意，知粒子在t=0到t=

2π

3

×10-4s內和在t=

2π

3

×10-4s到t=

4π

3

×10-4s時間內在磁場中轉過的圓弧所對的圓心角均為

2π

3

，粒子的運動軌跡應如圖 （b）所示．
△ODX₂ 是低邊夾角是30°的等邊三角形，
由幾何關系得x₂=2（2rsin30°+2r）=6r=0.6 m．
答：（1）粒子做勻速圓周運動的軌道半徑是0.1m；
（2）第2次經過x軸時的坐標0.2m．
（3）粒子從O點射出后第2次經過x軸時的坐標x₂=0.6 m．

點評：該題考查帶電粒子在勻強磁場中的運動，洛倫茲力提供向心力是基礎，正確畫出粒子運動的軌跡是解決問題的關鍵．