Question

【題目】如圖，ABD為豎直平面內(nèi)的軌道，其中AB段是水平粗糙的、BD段為半徑R=0.4m的半圓光滑軌道，兩段軌道相切于B點(diǎn)．小球甲從C點(diǎn)以速度υ0沿水平軌道向右運(yùn)動(dòng)，與靜止在B點(diǎn)的小球乙發(fā)生彈性碰撞．已知甲、乙兩球的質(zhì)量均為m，小球甲與AB段的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.5，C、B距離L=1.6m，g取10m/s2 ． （水平軌道足夠長(zhǎng)，甲、乙兩球可視為質(zhì)點(diǎn)）

（1）甲乙兩球碰撞后，乙恰能通過(guò)軌道的最高點(diǎn)D，求乙在軌道上的首次落點(diǎn)到B點(diǎn)的距離；
（2）在滿(mǎn)足（1）的條件下，求的甲的速度υ0；
（3）若甲仍以速度υ0向右運(yùn)動(dòng)，增大甲的質(zhì)量，保持乙的質(zhì)量不變，求乙在軌道上的首次落點(diǎn)到B點(diǎn)的距離范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設(shè)乙到達(dá)最高點(diǎn)的速度為vD，乙離開(kāi)D點(diǎn)到達(dá)水平軌道的時(shí)間為t，乙的落點(diǎn)到B點(diǎn)的距離為x，乙恰能通過(guò)軌道最高點(diǎn)，則

mg=m …①

乙做平拋運(yùn)動(dòng)過(guò)程有：

2R= gt2…②

x=vDt…③

聯(lián)立①②③得：x=0.8 m…④

（2）

解：設(shè)碰撞后甲、乙的速度分別為v甲、v乙，取向右為正方向，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律有

mvB=mv甲+mv乙 …⑤

mvB2= mv甲2+ mv乙2…⑥

聯(lián)立⑤⑥得：v乙=vB⑦

對(duì)乙從B到D，由動(dòng)能定理得：﹣mg2R= mv02﹣ mv乙2…⑧

聯(lián)立①⑦⑧得：vB=2 m/s…⑨

甲從C到B，由動(dòng)能定理有：﹣μmgL= mvB2﹣ mv02⑨

解得：v0=6m/s

（3）

解：設(shè)甲的質(zhì)量為M，碰撞后甲、乙的速度分別為vM、vm，取向右為正方向，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律有：

MvB=MvM+mvm…⑩

MvB2= MvM2+ mvm2

聯(lián)立得⑩（11）得：vm=

由M=m和M≥m，可得 vB≤vm＜2vB

設(shè)乙球過(guò)D點(diǎn)時(shí)的速度為vD'，由動(dòng)能定理得：

﹣mg2R= mv′02﹣ mvm2

聯(lián)立⑨（13）（14）得：2 m/s≤vD'＜8 m/s

設(shè)乙在水平軌道上的落點(diǎn)距B點(diǎn)的距離為x'，有：x'=vD't

聯(lián)立②（15）（16）得：0.8 m≤x'＜3.2m

【解析】（1）乙恰能通過(guò)軌道的最高點(diǎn)D時(shí)，由重力提供向心力，由牛頓第二定律求得乙通過(guò)D點(diǎn)時(shí)的速度，再由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求乙在軌道上的首次落點(diǎn)到B點(diǎn)的距離；（2）對(duì)于甲乙碰撞，根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律可以知道它們交換速度．對(duì)乙從B到D，由動(dòng)能定理求得碰后瞬間乙的速度．對(duì)甲從C到B，由動(dòng)能定理求得速度υ0；（3）根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律得到碰后乙速度的范圍，再由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求得乙在軌道上的首次落點(diǎn)到B點(diǎn)的距離范圍．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了向心力和機(jī)械能守恒及其條件的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握向心力總是指向圓心，產(chǎn)生向心加速度，向心力只改變線(xiàn)速度的方向，不改變速度的大小；向心力是根據(jù)力的效果命名的.在分析做圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)受力情況時(shí)，千萬(wàn)不可在物體受力之外再添加一個(gè)向心力；在只有重力（和彈簧彈力）做功的情形下，物體動(dòng)能和重力勢(shì)能（及彈性勢(shì)能）發(fā)生相互轉(zhuǎn)化，但機(jī)械能的總量保持不變才能正確解答此題．