Question

如圖所示，足夠長(zhǎng)的U型金屬框架放置在絕緣斜面上，斜面傾角30°，框架的寬度L=1.0m、質(zhì)量M=1.0kg．導(dǎo)體棒ab垂直放在框架上，且可以無(wú)摩擦的運(yùn)動(dòng)．設(shè)不同質(zhì)量的導(dǎo)體棒ab放置時(shí)，框架與斜面間的最大靜摩擦力均為F_max=7N．導(dǎo)體棒ab電阻R=0.02Ω，其余電阻一切不計(jì)．邊界相距d的兩個(gè)范圍足夠大的磁場(chǎng)Ⅰ、Ⅱ，方向相反且均垂直于金屬框架，磁感應(yīng)強(qiáng)度均為B=0.2T．導(dǎo)體棒ab從靜止開始釋放沿框架向下運(yùn)動(dòng)，當(dāng)導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)到即將離開Ⅰ區(qū)域時(shí)，框架與斜面間摩擦力第一次達(dá)到最大值；導(dǎo)體棒ab繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)它剛剛進(jìn)入Ⅱ區(qū)域時(shí)，框架與斜面間摩擦力第二次達(dá)到最大值．求：
（1）磁場(chǎng)Ⅰ、Ⅱ邊界間的距離d；
（2）欲使框架一直靜止不動(dòng)，導(dǎo)體棒ab的質(zhì)量應(yīng)該滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）導(dǎo)體棒即將離開Ⅰ時(shí)，金屬框受到的安培力沿斜面向下，框架與斜面間摩擦力第一次達(dá)到最大值，根據(jù)平衡條件求出靜摩擦力的最大值．根據(jù)安培力的表達(dá)式求出此時(shí)的速度．導(dǎo)體棒剛進(jìn)入Ⅱ時(shí)，金屬框受到的安培力沿斜面向上，根據(jù)平衡條件求出此時(shí)金屬框受到的靜摩擦力最大值．再由安培力表達(dá)式求出此時(shí)的速度．導(dǎo)體棒在兩磁場(chǎng)邊界之間做勻加速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律求出加速度，根據(jù)速度位移關(guān)系公式求出d．
（2）導(dǎo)體棒在磁場(chǎng)Ⅰ中已經(jīng)達(dá)到最大速度做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)平衡條件求出棒的質(zhì)量的最小值．欲使金屬框架不動(dòng)，導(dǎo)體棒剛進(jìn)入Ⅱ后電流不再增大，也做勻速運(yùn)動(dòng)，再由平衡條件求出棒的質(zhì)量的最大值．再求出導(dǎo)體棒ab的質(zhì)量范圍．

解答：（1）導(dǎo)體棒即將離開Ⅰ時(shí)，金屬框受到的安培力沿斜面向下，對(duì)金屬框由平衡條件得：
f_max=Mgsin30°+F_A1max，
解得：F_A1max=2N，
導(dǎo)體棒受安培力：F_A1max=

B2L2v1

R

=2N，
解得：v₁=1m/s；
導(dǎo)體棒剛進(jìn)入Ⅱ時(shí)，金屬框受到的安培力沿斜面向上，對(duì)金屬框由平衡條件得：
f_max′=F_A2max-Mgsin30°，
解得：F_A2max=12N，
導(dǎo)體棒受安培力：F_A2max=

B2L2v2

R

=12N，
解得：v₂=6m/s，
導(dǎo)體棒在兩磁場(chǎng)邊界之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，由牛頓第二定律得：mgsin30°=ma，
解得：a=5m/s²，
磁場(chǎng)Ⅰ、Ⅱ邊界間的距離：d=

v22-v12

2a

=3.5m；
（2）導(dǎo)體棒離開Ⅰ之前，速度至少要達(dá)到：v₁=1m/s．
設(shè)此時(shí)在磁場(chǎng)Ⅰ中已經(jīng)達(dá)到最大速度做勻速運(yùn)動(dòng)，由平衡條件得：
m₁gsin30°=F_A1max，
解得：m₁=0.4kg，
欲使金屬框架不動(dòng)，導(dǎo)體棒剛進(jìn)入Ⅱ后電流不再增大，做勻速運(yùn)動(dòng)．由平衡條件得：
M₂gsin30°=F_A2max，
解得：m₂=2.4kg，
即導(dǎo)體棒的質(zhì)量應(yīng)為：0.4kg＜m＜2.4kg．
答：（1）磁場(chǎng)Ⅰ、Ⅱ邊界間的距離為3.5m；
（2）欲使框架一直靜止不動(dòng)，導(dǎo)體棒ab的質(zhì)量應(yīng)該滿足的條件為：0.4kg＜m＜2.4kg．

點(diǎn)評(píng)：本題分析物體的受力至關(guān)重要，安培力的經(jīng)驗(yàn)公式F=

B2L2v

R

經(jīng)常用到，在推導(dǎo)的基礎(chǔ)上記住，對(duì)分析導(dǎo)體的運(yùn)動(dòng)作用很大．