Question

如圖，水平地面上有一轉臺，高h=10米，由半徑為R=1米和r=0.5米的兩個半圓柱拼合而成，可繞其中心軸轉動，平臺邊緣上放有兩個質量均為m=0.1kg的物體，可視為質點，由一根長為1.5m的細線連接在一起，且細線過轉臺的圓心，A、B兩物體與平臺接觸面的動摩擦系數均為μ=0.2，最大靜摩擦力等于滑動摩擦力．現在使轉臺轉動的角速度緩慢地增大，g=10m/s²，求：
（1）在繩子無張力時，ω的最大值為多少？
（2）在A、B兩個物體不滑動時，ω的最大值又為多少？
（3）接第2小題，當ω取最大值時，繩子突然斷裂，A、B兩個物體將同時離開轉臺，當兩個物體同時第一次著地時，其著地點距離是多少？（結果帶上根號）

Answer 1

分析：（1）在繩子無張力時，AB兩個物體靠靜摩擦力提供向心力，當一個物體達到最大靜摩擦力時，繩子開始有張力，根據向心力公式即可求解此時的角速度；
（2）當A、B兩個物體剛好不滑動時，對兩個物體進行受力分析，根據合外力提供向心力列式即可求解；
（3）繩子突然斷裂時，A、B兩個物體將做平拋運動，根據v=ωr求出AB的線速度，再根據平拋運動的基本公式即可求解．

解答：解：（1）在繩子無張力時，AB兩個物體靠靜摩擦力提供向心力，根據f=mω²r可知，A的半徑大，所以A最先達到最大靜摩擦力，則有：
μmg=mω²R
解得：ω=

μg R

=

0.2×10 1

=

2

rad/s
（2）當A、B兩個物體剛好不滑動時，兩物體都達到最大靜摩擦力，設此時繩子的拉力為T，則
T+μmg=mω′²R…①
T-μmg=mω′²r…②
由①-②解得：
ω′=2 

2

rad/s 
（3）繩子突然斷裂時，A、B兩個物體將做平拋運動，
此時A的速度vA=ω′R=2

2

×1=2

2

m/s
B的速度vA=ω′r=2

2

×0.5=

2

m/s
平拋運動的時間t=

2h g

=

20 10

=

2

s
則A物體水平距離為xA=vAt=2

2

?

2

=4m
A物體水平距離為xB=vBt=

2

?

2

=2m
根據幾何關系得：著地點距離x=

(xA+xB)2+(R+r)2

=

62+1.52

=

38.25

m
答：（1）在繩子無張力時，ω的最大值為

2

rad/s；
（2）在A、B兩個物體不滑動時，ω的最大值又為2 

2

rad/s；
（3）接第2小題，當ω取最大值時，繩子突然斷裂，A、B兩個物體將同時離開轉臺，當兩個物體同時第一次著地時，其著地點距離為

38.25

m．

點評：本題的關鍵是抓住臨界狀態，隔離物體，對物體進行正確受力分析，根據向心力公式求解，第三問中要注意著地點的距離不是兩物體做平拋運動的水平位移之和，難度適中．