Question

【題目】動量守恒定律和能量守恒定律是自然界的基本規律，請結合相關知識完成下列問題：

（1）如圖所示質量為m和M的兩個物塊放置在光滑水平地面上，M的左側連著一個輕彈簧，給m初始速度使其撞向M，在相互作用的過程中彈簧始終處于彈性限度內。若m的初速度大小為v0，求在m通過彈簧和M相互作用過程中彈簧的最大彈性勢能；

（2）近期熱播電影“流浪地球”引起了影迷對天文知識的關注，其中一個名詞“引力彈弓”更是成為人們談論的熱點，其實“引力彈弓”是指我們發射的深空探測器在探索太陽系或太陽系以外的宇宙空間過程中可以借助星球的引力實現助推加速，從而達到節省燃料，延長探測器有效工作時間的目的。例如1977年美國宇航局發射的旅行者一號空間探測器現已成為第一個飛出太陽系進入星際介質的探測器，它在運行的過程中就借助了木星和土星的引力助推作用從而具有了飛出太陽系的動能。

如圖所示為一個最簡單的“引力彈弓”模型，假設太陽系內一探測器以大小為V的速度向右飛行，同時某一行星向左以大小為U的速度運動（V與U均以太陽為參考系），探測器在靠近行星的過程中被行星引力吸引改變運動方向并最終與行星同向運動并脫離行星。請你運用所學知識證明此時探測器獲得的速度大小為2U+V（證明時可認為探測器質量遠遠小于行星質量，不考慮其它星體萬有引力的影響）。

Answer 1

【答案】（1） （2）設探測器質量為m，行星質量為M，脫離時探測器速度大小為V1，行星速度大小為V2，取行星和探測器系統為研究對象，U方向為正由動量守恒定律可知：，探測器靠近和脫離行星時可認為系統萬有引力勢能沒變，故由能量守恒有：，聯立可知：，

因為，所以，，所以，證畢。

【解析】

（1）取m、M系統為研究對象，V0方向為正方向，

由動量守恒定律有： ①

由能量守恒定律有： ②

①②聯立有：

（2）設探測器質量為m，行星質量為M，脫離時探測器速度大小為V1，行星速度大小為V2，取行星和探測器系統為研究對象，U方向為正

由動量守恒定律可知： ⑤

探測器靠近和脫離行星時可認為系統萬有引力勢能沒變，故由能量守恒有：

⑥

⑤⑥聯立可知：

因為，所以，，所以，證畢。