Question

（2004?淮安二模）在光滑水平面上有兩個質量都是0.5kg的小球（半徑可忽略）A和B，假設兩球之間的作用力有下面的特點：當兩球心間的距離大于2m時，兩球間無相互作用力；當兩球心間的距離等于或小于2m并大于1m時，兩球間存在大小等于6N的相互作用的恒定斥力；當兩球心間的距離等于或小于1m時，兩球間存在大小等于8N的相互作用的恒定斥力．現在A球從遠離B球處以8m/s的速度沿兩球連心線向原來靜止的B球運動，如圖所示．
求：（1）A球和B球的最終速度．
（2）兩球心間的最小距離．

Answer 1

分析：（1）對于AB系統，由動量守恒定律和機械能守恒列出等式求解
（2）A球向B球接近至A、B間的距離小于L之后，A球的速度逐步減小，B球從靜止開始加速運動，兩球間的距離逐步減小．當A、B兩球的速度相等時，兩球間的距離最小．若此距離大于2 r，則兩球就不會接觸．結合牛頓第二定律和運動學公式求出v₀必須滿足的條件．

解答：解：（1）由動量守恒定律和機械能守恒，有m₁V=m₁V₁+m₂V₂

1

2

m₁V²=

1

2

m₁

v

2 1

+

1

2

m₂

v

2 2

又m₁=m₂
解得V₁=0，V₂=V=8m/s．
（2）當兩小球距離最近時二者速度相等，設為V₃
由動量守恒有m₁V=m₁V₃+m₂V₃；
又m₁=m₂所以V₃=

1

2

V=4m/s
系統減小的動能為

1

2

m₁V²-

1

2

m₁

v

2 3

-

1

2

m₂

v

2 3

=8J
系統減小的動能用來克服兩小球之間的斥力做功．
設兩小球從開始相斥到速度變為相等接近的距離為S．
兩小球距離從2米接近到1米時克服斥力做功為：w₁=6N×1m=6J，
斥力變為8N后接近的距離為（S-1m），
由8J-6J=8N×（S-1m）
解得S=1.25m．
所以兩球心間的最小距離為2m-1.25m=0.75m．答：（1）A球和B球的最終速度分別是0，8m/s．
（2）兩球心間的最小距離是0.75m．

點評：解決本題的關鍵知道兩球速度相等時，有最短距離，結合牛頓第二定律和運動學公式進行求解．