Question

如圖所示，ABCDE為固定在豎直平面內的軌道，ABC為直軌道，AB光滑，BC粗糙，CDE為光滑圓弧軌道，軌道半徑為R，直軌道與圓弧軌道相切于C點，其中圓心O與BE在同一水平面上，OD豎直，∠COD=θ，（θ＜10°）．現有一質量為m的小物體（可以看作質點）從斜面上的A點靜止滑下，小物體與BC間的動摩擦因素為μ，現要使小物體第一次滑入圓弧軌道即剛好做簡諧運動（重力加速度為g）．求：
（1）小物體過D點時對軌道D點的壓力大小．
（2）直軌道AB部分的長度S．

Answer 1

分析：先根據機械能守恒定律求出到達D點時的速度大小然后根據牛頓第二定律列方程求所受支持力的大小；
對全過程應用動能定理列方程即可求解．

解答：解：（1）小物體下滑到C點速度為零．
小物體才能第一次滑入圓弧軌道即剛好做簡諧運動．
從C到D由機械能守恒定律有：mgR（1-cosθ）=

1

2

mv_D²    ①
在D點用向心力公式有：F-mg=m

vD2

R

 ②
解以上二個方程可得：F=3mg-2mgcosθ
由牛頓第三定律可得小物體對D點的壓力大小F′=3mg-2mgcosθ
（2）從A到C由動能定理有：
mgsinθ（S+Rcotθ）-μmgcosθ?Rcotθ=0
解方程得：S=（μcot² θ-cotθ）R
答：（1）小物體過D點時對軌道D點的壓力大小3mg-2mgcosθ．
（2）直軌道AB部分的長度S為（μcot² θ-cotθ）R．

點評：本題是動能定理、向心力公式知識的綜合，小物體下滑到C點速度為零，小物體才能第一次滑入圓弧軌道即剛好做簡諧運動．