Question

如圖，粗糙的水平面AB上的空間中存在場強分別為E₁的勻強電場及勻強磁場B，一帶正電小球質量為m，所帶電荷量為q，剛開始靜止在A點，在電場力的作用下開始向右運動，到達B點時進入一埋入地下的半徑為R的半圓形軟管，且在轉角B處無機械能損失，若小球到達B點時恰好對水平面的作用力為

1

2

mg，試求：
（1）小球到達B點時的速度大小是多少？
（2）若A、B間距離為S，則小球從A運動到B克服摩擦力做多少功？
（3）在軟管的最低點E，軟管對小球的作用力是多大？
（4）在CD平面上距離C點L處有一長為2L的沙坑，要使小球落在CD平面上的沙坑外，試求CD上空的勻強電場E₂的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據題意可知，洛倫茲力、支持力與重力處于平衡，因此由洛倫茲力公式可求出速度大小；
（2）小球從A到B過程，由動能定理可求出小球從A運動到B克服摩擦力做的功；
（3）由小球機械能守恒定律與牛頓第二定律及向心力表達式，可求出軟管對小球的作用力；
（4）小球從C點沖出后，將運動沿水平方向和豎直方向進行分解，根據分運動的時間相等，由運動學規律可求出勻強電場E₂的取值范圍．

解答：解（1）由于小球到B點時受洛倫茲力、支持力和重力處于平衡，所以
qV_BB+N=mg    
又因為 N=

1

2

mg   
解之得：V_B=

mg

2qB

  
（2）小球從A到B運動過程中，只有摩擦力、電場力做功，由動能定理可得
E₁qS-W_f=

1

2

m

v

2 B

-0   
∴W_f=E₁qS-

m3g2

8q2B2

      
（3）由機械能守恒定律并取E點為零勢能點，設軟管對小球的作用力為F，可得

1

2

m

v

2 B

+mgR=

1

2

m

v

2 E

+0   　　
由牛頓第二定律：F-mg=

m v 2 E

R

　　　　　　
解得：F=

m3g2

4q2B2R

+3mg　　　　　
（4）小球從C點沖出后，在豎直方向上作初速度大小為V_y=

mg

2qB

的豎直上拋運動，水平方向上做勻加速直線運動，
所以，設在空中飛行的時間為t，
則由t=

2vB

g

可得
t=

m

qB

                     
水平方向上，a=

E2q

m

，
小球落到沙坑以外，則

1

2

at2＜L或

1

2

at2＞3L      
可得E₂的取值范圍為：E₂＜

2LB2q

m

或　E₂＞

6LB2q

m

答：（1）小球到達B點時的速度大小是

mg

2qB

；
（2）若A、B間距離為S，則小球從A運動到B克服摩擦力做功qE1s-

m3g2

8q2B2

；
（3）在軟管的最低點E，軟管對小球的作用力是

m3g2

4q2B2R

+3mg；
（4）在CD平面上距離C點L處有一長為2L的沙坑，要使小球落在CD平面上的沙坑外，試求CD上空的勻強電場E₂的取值范圍為：E₂＜

2LB2q

m

或　E₂＞

6LB2q

m

．

點評：考查了動能定理、機械能守恒定律、牛頓第二定律、運動學規律，同時涉及到洛倫茲力與速度的關系，將曲線運動的分解兩方向的直線運動，本題屬于力電綜合題，難題，學生容易失分．