Question

【題目】地球同步通信衛星是相對于地面靜止的人造衛星.它定點在赤道上空某一確定的高度，與地球自轉周期相同.它的軌道是正圓形，稱為“靜止軌道”.在衛星上的不同位置分別安置有小型燃氣發動機，可根據需要在某一時刻短時間點燃發動機向某個方向噴出氣體，以調整衛星的姿態及軌道.發動機運行的時間相對于衛星的周期來說是很小的，所以這種調整可看作是瞬間完成的.在一堂物理課上老師提出了一個問題：如何把一個原來位于東經90處靜止軌道上的地球同步通信衛星轉移到90±Δx（Δx≤5）處，要求開動發動機的次數最少.某同學查閱相關資料后給出了一個方案，先讓衛星進入橢圓形的“漂移軌道”，再讓其回到靜止軌道.圖是他給出的方案的示意圖，其中正圓形的實線表示靜止軌道，橢圓形的虛線為“漂移軌道”.請回答：

(1)按他的方案，該衛星將漂向東方還是西方？

(2)按他的方案，該衛星完成這次轉移需要至少點燃發動機幾次？這幾次各是向哪個方向噴出氣體？各次點火的時機如何掌握？

(3)若已知地球質量為M=5.98×1024kg，衛星總質量（包括內部的儀器設備及儲備的燃料）為m=200kg，萬有引力恒量為G = 6.67×10-11 m3 kg-1s-2，要求衛星只在漂移軌道上轉一圈，且轉移量Δx恰好等于5.點燃發動機過程中消耗的燃料相比衛星總質量很小，可以忽略.

①漂移軌道的遠地點比靜止軌道高出的數量Δh等于多少？

②衛星從靜止軌道轉移到漂移軌道需要增加的機械能ΔE等于多少？

(兩個質量分別為m1和m2的均勻的球體，以相距無窮遠為勢能零點，則它們的距離為r時的引力勢能)

Answer 1

【答案】(1)漂向西方(2)至少需要點燃發動機兩次(3)①7.83×105m

【解析】

(1)漂向西方

(2)至少需要點燃發動機兩次。第一次向西方噴氣（答向后方也可），第二次向東方噴氣（向前方也可）。兩次點火時間相差沿漂移軌道運動的周期的整數倍。

(3)設地球同步衛星軌道半徑為R，衛星在靜止軌道上運行周期為T，由：

得：

R==4.23×107m

①設衛星在靜止軌道上運行周期為T1，在漂移軌道上運行的周期為T2，根據題目要求有：

根據開普勒第三定律，有：

解①、②兩式，得：

= 7.83×105m

②設衛星在漂移軌道的近地點時的速度為v1，遠地點時的速度為v2，

根據機械能守恒，有：

根據開普勒第二定律，有：

v1R=v2(R+Δh)

（在很短時間Δt內的位移分別為v1·Δt =v2·Δt，它們掃過的面積相等，

v1·Δt R/2=v2·Δt (R+Δh)/2）

解③、④兩式，得：

又，設衛星在靜止軌道上運行時的速度為v0，根據萬有引力定律和向心力公式，有：

，

解出：

則轉移軌道時需增加的機械能：