Question

如圖所示，第四象限內有互相正交的勻強電場E與勻強磁場B₁，E的大小為0.5×10³V/m，B₁大小為0.5T；第一象限的某個區域內，有方向垂直紙面向里的勻強磁場B₂，磁場B₂的下邊界與x軸重合．大量的質量m=1×10^-14kg、電荷量q=1×10^-10C的帶正電微粒，以某一速度v沿與y軸正方向60°角，從y軸OM間進入B₁場，一段時間后，所有的微粒都通過第一象限中的某一點．已知微粒在B₁場中沿直線運動，M點的坐標為（0，-10）．不計粒子重力，g取10m/s²．
（1）請分析判斷勻強電場E₁的方向并求出微粒的運動速度v；
（2）勻強磁場B₂的大小為多大？
（3）B₂磁場區域的最小面積為多少？

Answer 1

分析：（1）不計粒子重力，微粒在第四象限內僅受電場力和洛倫茲力而做直線運動，粒子必定做勻速直線運動，電場力和洛侖茲力相互平衡，根據左手定則判斷出洛倫茲力方向，確定電場強度E₁的方向，由平衡條件求解微粒的運動速度v；
（2）畫出微粒的運動軌跡與磁場的幾何圖．根據幾何知識求出粒子在第一象限內做圓周運動的半徑，由牛頓第二定律求解勻強磁場B₂的大小．
（3）磁場B₂的最小區域應該分布在微粒的運動軌跡與磁場兩圓的公共部分的面積，根據幾何知識求出B₂磁場區域的最小面積．

解答：解：（1）由題，粒子重力忽略不計，微粒在第四象限內僅受電場力和洛倫茲力，且微粒做直線運動，速度的變化會引起洛侖茲力的變化，所以微粒必做勻速直線運動．這樣，電場力和洛侖茲力大小相等，方向相反，由左手定則可知，粒子所受的洛倫茲力方向與微粒運動的方向垂直，即與y軸負方向成30°角斜向上，則知電場E的方向與微粒運動的方向垂直，即與y軸負方向成30°角斜向下．
由力的平衡有     Eq=B₁qv
∴v=

E

B1

=

0.5×103

0.5

m/s=10³m/s
（2）畫出微粒的運動軌跡與磁場的幾何圖．

由幾何關系可知粒子在第一象限內做圓周運動的半徑為　R=

3

20

m
 qv₂B=m

v2

R

解之得B2=

2

3

3

T
（3）由幾何可知，磁場B₂的最小區域應該分布在圖示的兩圓的公共部分的面積．
所以，所求磁場的最小面積為
S=2(

1

4

πR2-

R2

2

)=

3(π-2)

800

m2
答：
（1）勻強電場E₁的方向與y軸負方向成30°角斜向下．微粒的運動速度v是10³m/s；
（2）勻強磁場B₂的大小為

2

3

3

T．
（3）B₂磁場區域的最小面積為

3(π-2)

800

m2．

點評：本題中第四象限中電磁場相當于速度選擇器，射入第一象限的所有粒子的速度是一定的．本題畫出粒子的軌跡是解題的關鍵．