Question

如圖所示，光滑且足夠長的平行金屬導軌MN和PQ固定在同一水平面上，兩導軌間距l = 0.2m，電阻R₁ = 0.4Ω，導軌上靜止放置一質量m = 0.1kg、電阻R₂  = 0.1Ω的金屬桿，導軌電阻忽略不計，整個裝置處在磁感應強度B₁ = 0.5T的勻強磁場中，磁場的方向豎直向下，現用一外力F沿水平方向拉桿，使之由靜止起做勻加速運動并開始計時，若5s末桿的速度為2.5m/s，求：

（1）5s末時電阻R上消耗的電功率；

（2）5s末時外力F的功率.

（3）若桿最終以8 m/s的速度作勻速運動, 此時閉合電鍵S，射線源Q釋放的粒子經加速電場C加速后從a孔對著圓心O進入半徑r = m的固定圓筒中（筒壁上的小孔a只能容一個粒子通過），圓筒內有垂直水平面向下的磁感應強度為B₂的勻強磁場。粒子每次與筒壁發生碰撞均無電荷遷移，也無機械能損失，粒子與圓筒壁碰撞5次后恰又從a孔背離圓心射出，忽略粒子進入加速電場的初速度，若粒子質量= 6.6×10^{－27 kg ,} 電量= 3.2×10^{－19 C,} 則磁感應強度B₂ 多大？若不計碰撞時間，粒子在圓筒內運動的總時間多大？

Answer 1

(1) 0.1 W (2) 0.25W (3)     1.57×10 ^-2 s

解析:

（1）5s末桿產生的電動勢 E =B l v = 0.5 ×0.2 ×2.5 V = 0.25 V 

 A = 0.5 A 

                                          

   電阻上消耗的電功率 P_R = I ² R₁ = 0.1 W   （4分）

（2）金屬棒的加速度 

由牛頓定律  F- F_安 = ma     

桿受的安培力  F_安 = B I l

外力F的功率  P =Fv

由以上各式得  P = ( B I l + ma ) v = 0.25W（6分）

（3）此時回路電流強度為 A = 1.6A

     

   加速電場的電壓為 U = IR ₁= 1.6×0.4 V = 0.64 V

     

   根據動能定理：=

  粒子從C孔進入磁場的速度v ==m/s ≈8.0×10³ m/s （4分）

由題意知：粒子與圓筒壁碰撞5次后從a孔離開磁場, 由幾何關系求得∠d O b = 60°

軌跡半徑R＇ == 1.0 m

    又：

    故： = T =1.65×10^－5 T

 

  又：∠d O＇b = , 粒子作圓周運動轉過的圓心角為

    根據  及 v =

 

  得 T = = s = 7.85×10^-3 s

粒子在圓筒內運動的總時間 t = 2T = 2×7.85×10^-3 s = 1.57×10 ^-2 s （7分）