Question

如圖，在空間中有一坐標(biāo)系xOy，其第一象限內(nèi)充滿著兩個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域I和II，直線OP是它們的邊界，區(qū)域I中的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向外；區(qū)域II中的磁感應(yīng)強(qiáng)度為2B，方向垂直紙面向內(nèi)，邊界上的P點(diǎn)坐標(biāo)為（4L，3L）．一質(zhì)量為m電荷量為q的帶正粒子從P點(diǎn)平行于y軸負(fù)方向射入?yún)^(qū)域I，經(jīng)過一段時(shí)間后，粒子恰好經(jīng)過原點(diǎn)O，忽略粒子重力，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）粒子從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的時(shí)間為多少？
（2）粒子的速度大小是多少？

Answer 1

（1）設(shè)粒子的入射速度為v，用R₁，R₂，T₁，T₂分別表示粒子在磁場(chǎng)I區(qū)和II區(qū)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑和周期．則
qvB=m

v2

R1

qv2B=m

v2

R2

周期分別為 T1=

2πR1

v

=

2πm

qB

，T2=

2πR2

v

=

πm

qB

粒子先在磁場(chǎng)I區(qū)中做順時(shí)針的圓周運(yùn)動(dòng)，后在磁場(chǎng)II區(qū)中做逆時(shí)針的圓周運(yùn)動(dòng)，然后從O點(diǎn)射出，這樣粒子從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)所用的時(shí)間最短．
粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示．tanα=

3L

4L

=0.75
得α=37°，α+β=90°
粒子在磁場(chǎng)I區(qū)和II區(qū)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間分別為t1=

2β

360°

?T1，t2=

2β

360°

?T2
粒子從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的時(shí)間至少為t=n（t₁+t₂）（n=1，2，3，…）
由以上各式解得t=n

53πm

60qB

，（n=1、2，3，…）
（2）粒子的速度大小滿足一定條件時(shí)，粒子先在磁場(chǎng)I區(qū)中運(yùn)動(dòng)，后在磁場(chǎng)II區(qū)中運(yùn)動(dòng)，然后又重復(fù)前面的運(yùn)動(dòng)，直到經(jīng)過原點(diǎn)O．這樣粒子經(jīng)過n個(gè)周期性的運(yùn)動(dòng)到過O點(diǎn)，每個(gè)周期的運(yùn)動(dòng)情況相同，粒子在一個(gè)周期內(nèi)的位移為S=

OP

n

=

(4L)2+(3L)2

n

=

5L

n

（n=1、2，3，…）
粒子每次在磁場(chǎng)I區(qū)中運(yùn)動(dòng)的位移為S1=

R1

R1+R2

S=

2

3

S
由圖中幾何關(guān)系可知

S1 2

R1

=cosα
由以上各式解得粒子的速度大小為v=

25qBL

12nm

（n=1、2，3，…）
答：
（1）粒子從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的時(shí)間為n

53πm

60qB

，（n=1、2，3，…）
（2）粒子的速度大小是

25qBL

12nm

，（n=1、2，3，…）