Question

【題目】閃電是地球上最壯麗的自然現象之一，人們對閃電進行了大量研究，近年來還觀測到閃電導致的瞬間發光和伽瑪射線暴等新現象.閃電通常由雷電云(離地6-12km)放電產生，多數閃電發生在云內，少數到達地面，由于云內冰狀顆粒相互碰撞，小顆粒冰晶帶正電，隨氣流上浮到云上端；較大顆粒帶負電，下墜到云底端(見圖a).云中閃電中和了云內的正負電荷，而云地閃電則把負電荷釋放到地面.

(1)利用高空氣球攜帶的電場測量儀測量高空中某圓柱形空域雷電云內的電場，其強度可視為均勻分布，大小為0.15MV/m.該圓柱區域的中軸線垂直于地面，半徑為2.5km，高度為1.0km.求該區域上下兩端的電勢差、正電荷總量以及攜帶的總電能.已知真空介電常量=8.85×10-12F/m.

(2)在起電過程中，雷電云上下兩端電荷會隨時間指數增加.當地表電場大于1.0kV/m時，就會發生云地閃電，因此地表電場很少超過10kV/m.假定1)中所述的雷電云從高空緩慢整體下移，直至其負電荷層離地高度為6.0km時暫時保持穩定，地面為良導體，試估算此雷電云正下方產生的地表電場強度.

(3)云地閃電通常由帶電云底端帶負電的冰晶顆粒尖端放電觸發，先形成一條指向地面的放電細路徑(直徑為厘米量級)，該細路徑隨時間向下延伸，并導致周圍空氣不斷電離，逐漸形成以原細路徑(橫截面大小可視為不變)為軸的粗圓柱形帶電體，最后接近地面形成云地閃電通道.該閃電通道垂直于地面，所帶負電荷總量為2.5C(原細放電路徑內所帶電量相對很小)，閃電通道(中心放電細路徑除外)內部電場強度大小相等.假設閃電通道的長度遠大于其直徑，閃電通道的直徑遠大于中心放電細路徑的直徑，且在閃電通道連通云地前的極短時間內，閃電通道內部的電荷分布可視為穩定分布.已知大氣的電場擊穿閾值為3.0MV/m，試估算該云地閃電通道的直徑，并導出閃電通道(中心放電細路徑除外)內的電荷密度徑向分布的表達式

(4)閃電通道連通云地后，云底和通道內部的負電荷迅速流向地面；閃電區域的溫度驟然上升到數萬攝氏度，導致其中的空氣電離，形成等離子體，放出強光，同時通道會劇烈膨脹，產生雷聲，閃電的放電電流經過約10μs時間即可達數萬安培.在通道底部(接近地面)向四周輻射出頻率約為30kHz的很強的無線電波.由于頻率低于20MHz(此即所謂電離層截止頻率)的電磁波不能進入電離層內部，該無線電波會加熱電離層底部(離地約80km)的等離子體，閃電電流--旦超過某閾值將導致該電離層底部瞬間發光，形成一個以強無線電波波源(通道底部)正上方對應的電離層底部為中心的光環，最大直徑可延伸到數百公里.試畫出電離層底部光環產生與擴展的物理過程示意圖，并計算光環半徑為100km時光環擴張的徑向速度.

(5)球形閃電(球閃)的微波空泡模型認為球閃是一個球形等離子體微波空腔(空泡).當閃電微波較弱時，不足以形成微波空泡，會向太空輻射，穿透電離層，可被衛星觀測到.實際上，衛星確實觀測到了這種微波輻射.但衛星觀測信號易受電離層色散的干擾，攜帶探測器的高空氣球可到達雷電云上方觀測，以避免此類干擾.為了在離地12km的高空觀測閃電發出的微波信號，需要在該區域懸浮一個載荷(包括氣球材料和探測器)為50kg的高空氦氣球，求此氣球在高空該區域懸浮時的體積.已知在離地12km的高度以下，大氣溫度隨高度每升高1km下降5.0K，地面溫度T0=290K，地面壓強=1.01×105pa，空氣摩爾質量M=29g/mol；氣球內氦氣密度(在離地高度12km處的值)=0.18kg/m3.重力加速度g=9.8m/s2，氣體普適常量R=8.31J/(K·mol).

Answer 1

【答案】（1） （2）3.5kV/m 電場方向垂直于地面朝上 （3） （4）3.8×108m/s （5）3.8×102m3

【解析】

(1)該圓柱形雷電云空域的電荷分布可近似認為是一個平行板電容器，其電容為

(1)

式中，r=2.5km，d=1.0km.該區域上下兩端的電勢差為

U=Ed=150MV (2)

式中E=0.15MV/m。所帶正電荷總量為

=26C (3)

攜帶的總電能為

J (4)

(2)將地面考慮為平面導體.應用鏡像電荷法，可得高度為h的點電荷Q產生的地面電場為

(5)

雷電云正負電荷產生的總地表電場為

=-3.5kV/m (6)

已利用(3)式和題給數據h=6.0km，d=1.0km，r=2.5km.結果為負，說明電場方向垂直于地面朝上.

【另解】

(較為精確的計算):

考慮圓盤上一圓環形的電荷微元

其中r′為圓盤半徑，為圓盤面電荷密度.該電荷微元在圓盤中軸線(過圓盤中心且與圓盤垂直的軸線)上與盤相距x處產生的電勢為

整個帶電圓盤在圓盤中軸線上與盤相距x處產生的電勢為

整個帶電圓盤在圓盤中軸線上與盤相距x處產生的電場為

雷電云負電荷圓盤在x=h產生的電場為，

式中h為負電荷的高度.正電荷圓盤在x=h+d產生的電場為

將地面考慮為平面導體.應用鏡像電荷法，得到正負電荷產生的地面電場為

(5)

已利用了(3)式。代入題給數據h=6.0km，d=1.0km，r=2.5km，得

=-2.8kV/m (6)

結果為負，說明電場方向垂直于地面朝上。

(3)閃電通道的線電荷密度為

(7)

式中Q=2.5C，h=6.0km.利用高斯定理得，圓柱電荷體系外的電場為

(8)

式中r′為到圓柱中軸線的距離.閃電通道的表面(柱面)電場應為擊穿電場，故其直徑為

=5.0m (9)

式中E擊穿=3.0MV/m.

由題設，閃電通道的長度遠大于其直徑，閃電通道的直徑遠大于中心放電細路徑的直徑，閃電通道可視為無窮長的直圓柱體.在該直圓柱體上下兩端面的電場通量(邊緣效應)可忽略.在閃電通道內部，取與閃電通道同軸的圓柱形封閉面(包含中心放電細路徑)，應用高斯定理得

(10)

此即

將上式兩邊對r求導得:

(11)

于是，閃電通道內(中心放電細路徑除外)電荷密度分布為

(12)

(4)電離層底部光環產生與擴展的物理過程示意圖如解題圖a所示.

圖中，無線電波從閃電O點在t=0時刻以球面波形式輻射出來，波前在t=tA時刻到達電離層底面A處時開始加熱該電離層底部的A處，這對應光環的出現時刻。由于頻率低于電離層截止頻率(30kHz<<20MHz)，無線電波不能進入電離層，無線電波的波前會掠過電離層底面.當波前在t=tB時刻到達B點時，對應的光環的半徑就為.

假設在較短的時間Δt內，光環外徑從B傳播到C；對應的無線電波的波前從B點傳播到了D點。由于無線電波的傳播速度為c，故

(13)

其中c是光速.光環從B到C的移動速度為

(14)

代入題給數據

(15)

由(14)(15)式得

(16)

代入題給數據=80km，=100km，得

=1.28c=3.8×108m/s； (17)

【另一解】

電離層底部光環產生與擴展的物理過程示意圖如解題圖a所示.圖中，無線電波從閃電O點在t=0時刻以球面波形式輻射出來，波前在t=tA時刻到達電離層底面A處時開始加熱該電離層電離層底面AB底部的A處，這對應光環的出現時刻。由于頻率低于電離層截止頻率(30kHz<<<20MHz)，無線電波不能進入電離層，無線電波的波前會掠過電離層底面。當波前在t=tB時刻到達B點時，對應的光環的半徑就為.

由于無線電波的傳播速度為c，故

， （13）

式中t是光環從A擴展至B所用時間.由幾何關系

得

(14)

將(14)式兩邊對t微商得

(15)

由幾何關系有

由上式和(15)式得

(16)

代入題給數據=80km，=100km，得

=1.28c=3.8×108m/s； (17)

(5)氣球在高空懸浮的條件是

(18)

式中m負載為氣球及載荷的總質量，ρ1為高空的大氣密度，V0是此氣球在此高度懸浮時的體積.由(18)式得

(19)

求出ρ1即可得氣球體積.

按題意，空氣溫度隨高度的變化關系為

(20)

其中=5.0×10-3K/m.空氣壓強隨高度的變化滿足.

(21)

由理想氣體狀態方程

可得空氣密度

(22)

式中m和V分別為空氣質量和體積，M為空氣摩爾質量，為空氣密度，R為普適氣體常量.將(22)式代入(21)式得

(23)

由(23)式得

(24)

兩邊積分得

(25)

于是

(26)

相應的空氣密度為

(27)

推導中用到了

(28)

由(27)式和題給數據得，離地高度z=12km處的空氣密度為

=0.31kg/cm3 (29)

將(29)式代入(19)式得

=3.8×102m3