Question

如圖所示，AB是一段位于豎直平面內的弧形軌道，高度為h，末端B處的切線沿水平方向．一個質量為m的小物體P（可視為質點）從軌道頂端處A點由靜止釋放，滑到B點時以水平速度v飛出，落在水平地面的C點，其軌跡如圖中虛線BC所示．已知P落地時相對于B點的水平位移OC=l，重力加速度為g，不計空氣阻力的作用．
（1）請計算P在弧形軌道上滑行的過程中克服摩擦力所做的功；
（2）現于軌道下方緊貼B點安裝一水平傳送帶，傳送帶右端E輪正上方與B點相距2l．先將驅動輪鎖定，傳送帶處于靜止狀態．使P仍從A點處由靜止釋放，它離開B點后先在傳送帶上滑行，然后從傳送帶右端水平飛出，恰好仍落在地面上C點，其軌跡如圖中虛線EC所示．若將驅動輪的鎖定解除，并使驅動輪以角速度ω順時針勻速轉動，再使P仍從A點處由靜止釋放，最后P的落地點是D點（圖中未畫出）．已知驅動輪的半徑為r，傳送帶與驅動輪之間不打滑，且傳送帶的厚度忽略不計．求：
①小物塊P與傳送帶之間的動摩擦因數；
②若驅動輪以不同的角速度勻速轉動，可得到與角速度ω對應的OD值，討論OD的可能值與ω的對應關系．

Answer 1

分析：（1）由動能定理可以求出克服摩擦力做的功；
（2）物塊離開水平面后做平拋運動，應用平拋運動規律與動能定理可以求出動摩擦因數；
根據物塊受到與傳送帶速度間的關系，分析物塊的運動過程，應用勻變速運動規律分析答題．

解答：解：（1）小物塊從A到B的過程中，重力和摩擦力對其做功，由動能定理有：mgh-W_f=

1

2

mv²-0
解得：W_f=mgh-

1

2

mv²；
（2）①小物塊從B到C的過程，做平拋運動，
水平方向有：l=vt，
小物塊從E到C的過程沿水平方向：

l

2

=v_Et，解得：v_E=

1

2

v，
設小物塊與傳送帶之間的動摩擦因數為μ，小物塊從B到E的過程，
由動能定理得：-μmg

l

2

=

1

2

mv_E²-

1

2

mv²
解得：μ=

3v2

4gl

；
②（a）當傳送帶的速度為：0＜v_帶=ωr＜v_E，
即0＜ω＜

v

2r

時，物體在傳送帶上一直做勻減速運動，
物體離開傳送帶時的速度為v_E，則：OD=l；
（b）如果物體在傳送帶上一直加速而未與傳送帶共速，
則物體的加速度始終為：a=μg；
設物體離開傳送帶時的速度為v_max，根據運動學公式有：
v_max²-v²=μgl
解得v_max=

7

2

v；
當傳送帶的速度：v_帶=ωr＞

7

2

v，即：ω＞

7 v

2r

時，
物體離開傳送帶點時的速度為v_max，則：OD=（

1

2

+

7

2

）l，
（c）當傳送帶的速度v_E＜v_帶=ωr＜v_max，
即

v

2r

＜ω＜

7 v

2r

時，物體離開傳送帶點時的速度為v_帶=ωr，則OD=（

1

2

+

7 r

v

）l；
答：（1）在弧形軌道上滑行的過程中克服摩擦力所做的功為mgh-

1

2

mv²；
（2）①小物塊P與傳送帶之間的動摩擦因數為

3v2

4gl

；
②當0＜v_帶=ωr＜v_E時，OD=l；
（b）當ω＞

7 v

2r

時，OD=（

1

2

+

7

2

）l，
（c）當

v

2r

＜ω＜

7 v

2r

時，OD=（

1

2

+

7 r

v

）l．

點評：本題是機械能守恒、平拋運動，動能定理的綜合應用，要具有分析物體運動過程的能力，要抓住平拋運動的時間由高度決定這一知識點．