Question

（2010?徐州三模）如圖甲所示，豎直放置的金屬板A、B中間開有小孔，小孔的連線沿水平放置的金屬板C、D的中間線，粒子源P可以間斷地產生質量為m、電荷量為q的帶正電粒子（初速不計），粒子在A、B間被加速后，再進入金屬板C、D間偏轉并均能從此電場中射出．已知金屬板A、B間的電壓U_AB=U₀，金屬板C、D長度為L，間距d=

3 L

3

．兩板之間的電壓U_CD隨時間t變化的圖象如圖乙所示．在金屬板C、D右側有二個垂直紙面向里的均勻磁場分布在圖示的半環形帶中，該環帶的內、外圓心與金屬板C、D的中心O點重合，內圓半徑R_l

3 L

3

=，磁感應強度B₀=

24mU0 qL2

．已知粒子在偏轉電場中運動的時間遠小于電場變化的周期（電場變化的周期T未知），粒子重力不計．

（1）求粒子離開偏轉電場時，在垂直于板面方向偏移的最大距離；
（2）若所有粒子均不能從環形磁場的右側穿出，求環帶磁場的最小寬度；
（3）若原磁場無外側半圓形邊界且磁感應強度B按如圖丙所示的規律變化，設垂直紙面向里的磁場方向為正方向．t=

T

2

時刻進入偏轉電場的帶電微粒離開電場后進入磁場，t=

3T

4

時該微粒的速度方向恰好豎直向上，求該粒子在磁場中運動的時間為多少？

Answer 1

分析：（1）由動能定理可求出粒子離開加速電場時的速度，粒子在偏轉電場中做類平拋運動，偏轉電壓最大時，粒子的偏移量最大，由類平拋運動可以求出粒子的最大偏移量．
（2）由動能定理求出粒子離開偏轉磁場時的速度，作出粒子的運動軌跡，由幾何知識求出粒子的軌道半徑，然后求出環帶的寬度．
（3）由幾何知識求出粒子在磁場中轉過的圓心角，分析清楚粒子的運動過程，然后求出粒子的運動時間．

解答：解：（1）設粒子進入偏轉電場瞬間的速度為v₀，
對粒子加速過程由動能定理得qU₀=

1

2

mv₀²-0，
進入偏轉電場后，加速度a=

qUCD

md

，
設運動時間為t，則有L=v₀t，
只有t=

T

2

時刻進入偏轉電場的粒子，垂直于極板方向偏移的距離最大
y=

1

2

at²=

3

6

L；
（2）t=

T

2

時刻進入偏轉電場的粒子剛好不能穿出磁場時的環帶寬度為磁場的最小寬度．
設粒子進入磁場時的速度為v，y=

3

6

L=

3

6

×

3

d=

1

2

d，U_y=

UCD

d

y=

1

3

U₀，
對粒子的偏轉過程，由動能定理得：

1

3

qU₀=

1

2

mv²-

1

2

mv₀²，解得：v=

8qU0 3m

；
在磁場中做圓周運動的半徑為R=

mv

qB0

=

L

3

；

如圖所示，設環帶外圓半徑為R₂，由數學知識可得：（R₂-R）²=R₁²+R²，解得R₂=L；
所求d=R₂-R₁=（1-

3

3

）L；
（3）微粒運動軌跡如圖所示，
微粒在磁場中做勻速圓周運動的周期為T₁=

2πm

qB0

，
設粒子離開電場時偏轉角為θ，則tanθ=

v2

v1

，解得：θ=30°，
由幾何關系可知微粒運動

T

4

時間軌跡對應的圓心角為：φ=120°，
此過程微粒運動的時間為t=

T1

3

，
由圖可知微粒在磁場中運動的時間：
t′=

T1

3

+T₁+

T1

3

=

5

3

T₁=

10πm

3qB0

=

5πL

18

6m qU0

；
答：（1）粒子離開偏轉電場時，在垂直于板面方向偏移的最大距離是

3

6

L；
（2）若所有粒子均不能從環形磁場的右側穿出，環帶磁場的最小寬度是（1-

3

3

）L；
（3）該粒子在磁場中運動的時間為

5πL

18

6m qU0

．

點評：本題考查了帶電粒子在電磁場中的運動，過程復雜，是一道難題，分析清楚粒子的運動過程，作出粒子的運動軌跡，是正確解題的關鍵．