Question

如圖所示，虛線MN左側的整個空間存在一方向豎直向下的勻強電場E₁，虛線右側的整個空間存在方向豎直向上的勻強電場E₂和方向垂直紙面向內的勻強磁場B．一絕緣帶電小球從距MN左側的A點以一定的初速度向右運動，進入虛線右側后在豎直面內做勻速圓周運動，向左穿過MN后恰好落回A點．已知A點到MN 的距離為L；小球的質量為m、帶電量為q，小球的初速度為v₀，小球與水平面的動摩擦因數μ=v₀²/4gL；E₁=mg/2q．
（1）求右側電場E₂的場強大小．
（2）求磁場B的磁感應強度大小．

Answer 1

分析：（1）小球進入虛線右側后在豎直面內做勻速圓周運動，受到重力、電場力和洛倫茲力，重力與電場力必定平衡，由平衡條件可求解E₂．
（2）分三段過程研究：從A到M的過程中，運用動能定理求解小球到M點的速度v；在右側電磁場中粒子作勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律和向心力公式列式，得到B與速度v的關系式；小球重新回到MN左側運動作類平拋運動，運用運動的分解，根據牛頓第二定律和運動學公式列式，得到v，聯立即可求得B．

解答：解：（1）小球在MN右側能做勻速圓周運動，則有
   qE₂=mg            
解得，E₂=

mg

q

．
（2）小球從A到M的過程中，設到M時速度為v．
由動能定理得：-μNL=

1

2

mv²-

1

2

mv₀²；
豎直方向平衡，有：N-qE₁-mg=0
在右側電磁場中粒子作勻速圓周運動：qvB=m

v2

r

重新回到MN左側運動作類平拋運動，則有：
  L=vt
  2r=

1

2

at²
根據牛頓第二定律得：mg+qE₁=ma
由題μ=

v 2 0

4gL

；E₁=

mg

2q

．
聯立以上各式解得：B=

m v 2 0

3gqL2

答：（1）右側電場E₂的場強大小是

mg

q

．
（2）磁場B的磁感應強度大小是：B=

m v 2 0

3gqL2

．

點評：對于帶電粒子在復合場中運動的類型，根據小球的運動情況，分析其受力情況是解決本題的關鍵，考查綜合運用牛頓第二定律和運動學公式處理復雜運動的能力．