Question

如圖所示，間距為L、半徑為R₀的內壁光滑的

1

4

圓弧固定軌道，右端通過導線接有阻值為R的電阻，圓弧軌道處于豎直向上的勻強磁場中，磁場的磁感應強度為B．質量為m、電阻為r、長度也為L的金屬棒，從與圓心等高的ab處由靜止開始下滑，到達底端cd時，對軌道的壓力恰好等于金屬棒的重力2倍，不計導軌和導線的電阻，空氣阻力忽略不計，重力加速度為g．求：
（1）金屬棒到達底端時，電阻R兩端的電壓U多大；
（2）金屬棒從ab處由靜止開始下滑，到達底端cd的過程中，通過電阻R的電量q；
（3）用外力將金屬棒以恒定的速率v從軌道的低端cd拉回與圓心等高的ab處的過程中，電阻R產生的熱量Q．

Answer 1

分析：（1）由于已知在cd位置對軌道壓力為重力的兩倍，由向心力表達式可以得到此時的速度，進而可得此時的感應電動勢E=BLv，由歐姆定律可得電阻R兩端的電壓．
（2）金屬棒從ab處由靜止開始下滑，到達底端cd的過程中，通過電阻的電量應該有電流平均值來求，可先由法拉第電磁感應定律求得此過程中產生的平均感應電動勢，進而可得平均電流，通過R點電荷量即為q=

.

I

t．
（3）由于導體棒的速率是定值，金屬棒垂直于磁場方向的速度可表示為v_x=vcosα，金屬棒切割產生的電動勢為：E=BLv_x，可知感應電動勢有效值為

BLv

2

，進一步可得電流有效值，由Q=I²Rt可求產生的熱量．

解答：解：（1）金屬棒滑到軌道最低點時，由圓周運動：
N-mg=m

v2

R0

…①
根據題意：
N=2mg…②
金屬棒切割磁感線產生的感應電動勢為：
E=BLv…③
金屬棒產生的感應電流為：
I=

E

R+r

…④
電阻R兩端的電壓為：
U=IR…⑤
由①②③④⑤解得：
U=

BLR gR0

R+r

…⑥
（2）金屬棒從ab處由靜止開始下滑，到達底端cd的過程中，通過電阻R的電量為：
q=

.

I

t
由歐姆定律有：

.

I

=

. E

R+r

根據法拉第電場感應定律：

.

E

=N

△?

△t

=

BLR0

t

由以上三式得：
q=

BLR0

R+r

（3）金屬棒以恒定的速率v從軌道的底端cd拉回與圓心等高的ab處的過程中，金屬棒垂直于磁場方向的速度為：
v_x=vcosα
金屬棒切割產生的電動勢為：
E=BLv_x
感應電動勢有效值為：
E=

BLv

2

電路中的電流有效值為：
I=

E

R+r

=

BLv

2 (R+r)

金屬棒運動的時間為：
t=

1 4 ?2πR0

v

金屬棒產生的熱量為：
Q=I2Rt=(

BLv

2 (R+r)

)2?R?

1 4 ?2πR0

v

=

B2L2vπRR0

4(R+r)2

答：（1）金屬棒到達底端時，電阻R兩端的電壓為U=

BLR gR0

R+r

；
（2）金屬棒從ab處由靜止開始下滑，到達底端cd的過程中，通過電阻R的電量為q=

BLR0

R+r

；
（3）用外力將金屬棒以恒定的速率v從軌道的低端cd拉回與圓心等高的ab處的過程中，電阻R產生的熱量為Q=

B2L2vπRR0

4(R+r)2

．

點評：本題綜合性較強，突出的重點在于第3問，要求電阻產生的熱量，由于做功的外力一定是變力，故無法表示其做功的多少，也就無法由能量守恒，或動能定理等思路來做，而往往人都會朝這個思路走．這里的決定因素在于交流電有效值的應用，這個植入應用使得這個題稱為難度較大的壓軸題．