Question

如圖所示，一根長L=0.5m的細繩懸于天花板上O點，繩的另一端掛一個質量為m=1kg的小球，已知繩能承受的最大拉力為12.5N，小球在水平面內做圓周運動，當速度逐漸增大，繩斷裂后，小球將平拋后掉在地上．（g=10m/s²）
（1）繩斷裂時，繩與豎直方向所成的夾角θ為多大？
（2）繩剛斷裂時小球的角速度為多大？
（3）若小球做圓周運動的平面離地高為h=0.8m，則小球經多長時間落地．
（4）在第（3）問中小球落點離懸點在地面上的垂直投影的距離為多少？

Answer 1

分析：（1、2）繩子拉著小球做圓周運動，靠拉力和重力的合力提供向心力，通過平行四邊形定則求出繩子與豎直方向的夾角，結合牛頓第二定律求出角速度的大小．
（3、4）根據高度求出平拋運動的時間，結合初速度求出水平位移，從而通過幾何關系求出小球落點離懸點在地面上的垂直投影的距離．

解答：解：（1）根據平行四邊形定則得，Tcosθ=mg
則cosθ=

mg

T

=

10

12.5

=

4

5

，知θ=37°．
（2）根據牛頓第二定律得，mgtan37°=mLsinθω²
解得ω=

gtanθ Lsinθ

=

10× 3 4 0.5× 3 5

=5rad/s．
（3）根據h=

1

2

gt2得，t=

2h g

=

2×0.8 10

s=0.4s．
（4）小球平拋運動的水平位移x=vt=Lsinθωt=0.5×0.6×5×0.4m=0.6m．
由幾何關系得，d=

R2+x2

=

(0.5×0.6)2+0．62

m=0.3

5

m．
答：（1）繩斷裂時，繩與豎直方向所成的夾角θ為37°．
（2）繩剛斷裂時小球的角速度為5rad/s．
（3）小球經過0.4s落地．
（4）小球落點離懸點在地面上的垂直投影的距離為0.3

5

m．

點評：本題考查了圓周運動和平拋運動的綜合，知道平拋運動在水平方向和豎直方向上的運動規律，以及知道圓周運動向心力的來源，結合牛頓第二定律進行求解．