Question

【題目】如圖所示，一長l＝2 m、質量M＝4 kg的薄木板（厚度不計）靜止在粗糙的水平臺面上，其右端距平臺邊緣L＝5 m，木板的正中央放置一質量為m＝1 kg的小物塊（可視為質點）。已知木板與平臺、物塊與木板間動摩擦因數均為μ1＝0.4。現對木板施加一水平向右的恒力F，其大小為48 N，取g＝10 m/s2，試求：

（1）F作用1.2 s時，木板的右端到平臺邊緣的距離；

（2）要使小物塊最終不能從平臺上滑出去，則物塊與平臺間的動摩擦因數μ2應滿足的條件。

Answer 1

【答案】(1)0.64 m　(2)μ2≥0.2

【解析】

假設開始時物塊與木板會相對滑動，由牛頓第二定律求出兩者的加速度，從而判斷出物塊與木板會相對滑動．根據小物塊恰好從木板左端滑離時位移之差等于，由位移公式求得時間，并求出此時兩者的速度．在小物塊從木板上滑落后，由牛頓第二定律和位移公式求出木板發生的位移，即可求得木板的右端離平臺邊緣的距離；小物塊滑至平臺后，做勻減速直線運動，由牛頓第二定律求得物塊的加速度．若小物塊在平臺上速度減為0，求得其位移，由幾何關系分析μ2應滿足的條件。

（1）假設開始時物塊與木板會相對滑動，由牛頓第二定律，

對木板有：F－μ1(M＋m)g－μ1mg＝Ma1；

解得：a1＝6 m/s2。

對物塊有：μ1mg＝ma2；

解得：a2＝4 m/s2。

因為a2<a1，故假設成立。

設F作用t秒后，小物塊恰好從木板左端滑離，則有：

代入數據解得：t＝1 s

在此過程中，木板的位移為：=3 m，

末速度為：v1＝a1t＝6×1 m/s＝6 m/s。

物塊的位移為：

末速度為：v2＝a2t＝4×1 m/s＝4 m/s。

在小物塊從木板上滑落后的0.2 s內，由牛頓第二定律

對木板有：F－μ1Mg＝Ma1′

解得：a1′＝8 m/s2。

木板發生的位移為：x1′＝v1t0＋a1′t02

解得：x1′＝1.36 m

此時木板距平臺邊緣的距離為：Δx＝l－x1－x1′＝(5－3－1.36)m＝0.64 m。

(2)小物塊滑至平臺后，做勻減速直線運動，由牛頓第二定律

對物塊有：μ2mg＝ma2′

解得：a2′＝μ2g

若小物塊在平臺上速度減為0，則通過的位移為：

要使物塊最終不會從平臺上掉下去需滿足：l＋≥x2＋x2′

聯立解得：μ2≥0.2。