Question

(1)如圖甲所示，ABC為一固定在豎直平面內的光滑軌道，BC段水平，AB段與BC段平滑連接。質量為m₁的小球從高為h處由靜止開始沿軌道下滑，與靜止在軌道BC段上質量為m₂的小球發生碰撞，碰撞前后兩球的運動方向處于同一水平線上，且在碰撞過程中無機械能損失，求碰撞后小球m₂的速度大小v₂；
(2)碰撞過程中的能量傳遞規律在物理學中有著廣泛的應用。為了探究這一規律，我們采用多球依次碰撞、碰撞前后速度在同一直線上、且無機械能損失的簡化力學模型。如圖乙所示，在固定光滑水平直軌道上，質量分別為m₁、m₂、m₃、……m_n-1、m_n……的若干個球沿直線靜止相間排列，給第1個球初動能 E_k1，從而引起各球的依次碰撞。定義其中第n個球經過一次碰撞后獲得的動能E_kn與E_k1之比為第1個球對第n個球的動能傳遞系數k_1n。
a．求k_1n；
b．若m₁=4m₀，m₃=m₀，m₀為確定的已知量。求m₂為何值時，k₁₃最大。

Answer 1

解：(1)設碰撞前m₁的速度為v₁₀，根據機械能守恒定律 ①
設碰撞后m₁與m₂的速度分別為v₁和v₂，根據動量守恒定律m₁v₁₀=m₁v₁+m₂v₂ ②
由于碰撞過程中無機械能損失 ③
②、③式聯立解得 ④
將①式代入④式得
(2)a．由④式，考慮到和得
根據動能傳遞系數的定義，對于1、2兩球 ⑤
同理可得，球m₂和球m₃碰撞后，動能傳遞系數k₁₃應為 ⑥
依此類推，動能傳遞系數k_1n應為……
解得
b．將m₁=4m₀，m₃=m₀代入⑥可得
為使k₁₃最大，只需使最大，即使取最小值
由可知
當，即m₂=2m₀時，k₁₃最大