Question

（20分）如圖所示，x軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向上。在xOy平面內有與y軸平行的勻強電場，在半徑為R的圓內還有與xOy平面垂直的勻強磁場。在圓的左邊放置一帶電微粒發射裝置，它沿x軸正方向發射出一束具有相同質量m、電荷量q（q>0）和初速度v的帶電微粒。發射時，這束帶電微粒分布在0<y<2R的區間內。已知重力加速度大小為g。

（1）從A點射出的帶電微粒平行于x軸從C點進入有磁場區域，并從坐標原點O沿y軸負方向離開，求電場強度和磁感應強度的大小和方向。
（2）請指出這束帶電微粒與x軸相交的區域，并說明理由。
（3）若這束帶電微粒初速度變為2v，那么它們與x軸相交的區域又在哪里？并說明理由。

Answer 1

（1），方向沿y軸正方向。，方向垂直xOy平面向外。
（2）這束帶電微粒都是通過坐標原點后離開磁場的。理由見解析。
（3）這束帶電微粒與x軸相交的區域范圍是。

（1）帶電微粒平行于x軸從C點進入磁場，說明帶電微粒所受重力和電場力的大小相等，方向相反。設電場強度大小為E，由
mg=qE
可得電場強度大小

方向沿y軸正方向。
帶電微粒進人磁場后受到重力、電場力和洛侖茲力的作用。由于電場力和重力相互抵消，它將做勻速圓周運動。如圖(a)所示，考慮到帶電微粒是從C點水平進入磁場，過O點后沿y軸負方向離開磁場，可得圓周運動半徑
r=R
設磁感應強度大小為B，由
   可得磁感應強度大小
   方向垂直xOy平面向外。

（2）這束帶電微粒都通過坐標原點。
理由說明如下：
方法一：從任一點P水平進人磁場的帶電微粒在磁場中做半徑為R的勻速圓周運動，其圓心位于其正下方的Q點，如圖(b)所示。這樣，這束帶電微粒進入磁場后的圓心軌跡是如圖所示的虛線半圓，此半圓的圓心是坐標原點。所以，這束帶電微粒都是通過坐標原點后離開磁場的。
方法二：從任一點P水平進入磁場的帶電微粒在磁場中做半徑為R的勻速圓周運動。如圖(b)所示，設P點與0´點的連線與y軸的夾角為，其圓周運動的圓心Q的坐標為(-Rsin，Rcos)，圓周運動軌跡方程為

而磁場邊界是圓心坐標為(0，R)的圓周，其方程為

解上述兩式，可得帶電微粒做圓周運動的軌跡與磁場邊界的交點為
或
坐標為(-Rsin，R(1+cos))的點就是P點，須舍去。由此可見，這束帶電微粒都是通過坐標原點后離開磁場的。
（3）這束帶電微粒與x軸相交的區域是x>0。
理由說明如下：
帶電微粒初速度大小變為2v，則從任一點P水平進入磁場的帶電微粒在磁場中做勻速圓周運動的半徑r´為
r´=
帶電微粒在磁場中經過一段半徑為的圓弧運動后，將在軸的右方(區域)離開磁場并做勻速直線運動，如圖(c)所示。靠近點發射出來的帶電微粒在穿出磁場后會射向x軸正方向的無窮遠處：靠近點發射出來的帶電微粒會在靠近原點之處穿出磁場。
所以，這束帶電微粒與x軸相交的區域范圍是。