Question

如圖所示，由A、B兩平行金屬板構成的電容器放置在真空中，電容為C，原來不帶電．電容器的A板接地，并且中心有一個小孔，通過這個小孔向電容器中射入電子，射入的方向垂直于極板，射入的速度為v₀，如果電子的發射是一個一個單獨進行的，即第一個電子到達B板后再發射第二個電子，并且所有到達板的電子都留在B板上．隨著電子的射入，兩極板間的電勢差逐漸增加，直至達到一個穩定值，已知電子的質量為m，電荷量為e，電子所受的重力忽略不計，兩板的距離為l．
（1）當板上聚集了n個射來的電子時，兩板間電場的場強E多大？
（2）最多能有多少個電子到達B板？
（3）到達B板的第一個電子在兩板間運動的時間和最后一個電子在兩板間運動的時間相差多少？

Answer 1

分析：（1）當B板吸收了N個電子時電容器所帶電荷量為Q=Ne，由電容的定義式C=

Q

U

求電勢差，由E=

U

d

求出場強E．．
（2）電子經過U₀的電壓加速后，進入A、B板間的動能為eU₀，進入A、B板間電場后做減速運動．隨著B板電荷增加，電子在A、B間的加速度越來越大，直至電子到達B板的速度為零，此時A、B板間的電壓達到最大值U_m根據動能定理求解．
（3）第一個電子在兩板間作勻速運動，最后一個電子在兩板間作勻減速運動，到達B板時速度為零，由運動學求解時間差．

解答：解：（1）當B板上聚集了n個射來的電子時，兩板間的電勢差為：
  U=

Q

C

=

ne

C

內部電場為勻強電場，場強為：
 E=

U

l

=

ne

Cl

（2）設最多能聚集N+1個電子，第N+1個射入的電子到達B板時速度減為零．此時兩板間的電勢差為：
  U₁=

Q1

C

=

Ne

C

對此后再射入的電子，根據動能定理有
-eU₁=0-

1

2

mv

2 0

聯立解得：N=

Cm v 2 0

2e2

 
故最多能到達B板的電子數為N_m=N+1=

Cm v 2 0

2e2

+1
（3）第一個電子在兩板間作勻速運動，運動時間為：
  t₁=

l

v0

最后一個電子在兩板間作勻減速運動，到達B板時速度為零，運動時間為：
t₂=

l

. v

=

2l

v0

二者時間差為：
△t=t₂-t₁=

l

v0

．
答：
（1）當板上聚集了n個射來的電子時，兩板間電場的場強E為

ne

Cl

．
（2）最多能有

Cm v 2 0

2e2

+1個電子到達B板．
（3）到達B板的第一個電子在兩板間運動的時間和最后一個電子在兩板間運動的時間相差為

l

v0

．

點評：本題是帶電粒子在電場中直線加速和減速與電容器有關知識的綜合，關鍵要掌握電容的定義式C=

Q

U

，并運用動能定理求解．