Question

【題目】如圖所示，滑板軌道BC為豎直平面內的四分之一圓弧賽道，半徑為R＝1.8 m。ABC為光滑軌道，且水平軌道AB與圓弧軌道BC在B點相切。若運動員的質量M＝48.0 kg，滑板質量m＝2.0 kg，二者均可視為質點，重力加速度g取10 m/s2，不計空氣阻力。

(1)運動員和滑板在A點的速度至少多大才能滑到C點？

(2)以第(1)問中的最小速度運動時，求運動員滑過圓弧形軌道B點時對軌道的壓力；

(3)若A點右側為動摩擦因數μ＝0.3的水泥地面，運動員以第(1)問中的最小速度滑至C點又滑回后，運動員與滑板會停在距A點多遠的位置？

Answer 1

【答案】(1)6.0 m/s　(2)1.5×103 N　(3)6.0 m

【解析】(1)以運動員和滑板為一整體，若運動員和滑板恰好可滑到C點，以A、B所在水平面為零勢面，由機械能守恒定律得

(m＋M)v2＝(m＋M)gR

解得v＝6.0 m/s

運動員和滑板在A點的速度v至少要達到6.0 m/s才能滑到C點

(2)以第(1)問中的最小速度v運動時，由牛頓第二定律得

FN－(m＋M)g＝

解得軌道對運動員和滑板的支持力為FN＝1.5×103 N

由牛頓第三定律可知運動員和滑板對軌道的壓力大小也等于1.5×103 N，方向向下

(3)因為軌道ABC光滑，由機械能守恒定律知運動員滑回A點時速度大小仍為v＝6.0 m/s

滑過A點后至停下的過程可由動能定理得

－μ(m＋M)gx＝0－ (m＋M)v2

代入數據解得運動員和滑板最后與A點的距離為x＝6.0 m。