Question

為了迎接2008年北京奧運會的召開，我市某校的物理興趣小組設計了如圖所示的玩具軌道，其中“2008”四個等高數字是用內壁光滑的薄壁細圓玻璃管彎成，固定在豎直平面內（所有數字均由圓形和直圓管組成，P點與M、N點等高，圓半徑比細管的內徑大得多），底端與水平地面相切．右端的彈射裝置將一個小球（小球的直徑略小于玻璃管的內徑，且可以視為質點），以v_a=5m/s的水平初速度由a點彈出，從b點進入玻璃軌道，依次經過“8002”后從p點水平拋出．設小球與地面ab段間的動摩擦因數u=0.3，不計其它機械能損失．已知ab段長x=1.5m，數字“0”的半徑R=0.2m，小球的質量m=0.01kg，取g=10m/s²．試求：

（1）小球運動到數字“8”的最高點N處和數字“0”的最高點M處的角速度之比．
（2）小球到達數字“8”的最高點N時管道對小球作用力的大小和方向．
（3）小球從p點拋出后落到地面時的速度．

Answer 1

分析：（1）根據機械能守恒定律知小球在數字“8”的最高點N處和數字“0”的最高點M處速度大小相等，根據v=rω得出角速度之比．
（2）對小球由位置a經b運動到N點的過程，應用動能定理求出N點的速度，根據牛頓第二定律求出軌道對球的彈力大小和方向．
（3）P點的速度與N點的速度相等，根據平拋運動的規律求出小球落地的速度大小和方向．

解答：解：（1）由機械能守恒定律知，小球在M和N兩點的速度相同，由公式v=ωr得兩點的角速度之比為

ωN

ωM

=

RM

RN

=

2

1

（2）小球由位置a經b運動到N點的過程，應用動能定理得：μmgx+mg×2R=

1

2

m

v

2 a

-

1

2

m

v

2 N

v 2 N = v 2 a -4gR-2μgx =52-4×10×0.2-2×0.3×10×1.5 =8

設小球在N點軌道給它的壓力為F_N，由牛頓第二定律得FN+mg=m

v 2 N

R/2

FN=2m

v 2 N

R

-mg=2×0.01×

8

0.2

-0.01×10=0.7(N)
方向豎直向下                                                    
（3）由機械能守恒定律知，小球過P點以速度vP=vN=

8

m/s做平拋運動，則有    
2R=

1

2

gt2t=

4R g

=

4×0.2 10

=

2

5

(s)
vy=gt=10×

2

5

=2

2

(m/s)
小球的落地速度為v=

v 2 x + v 2 y

=

8+8

=4(m/s)
設落地速度與水平方向的夾角為θ，則有tanθ=

vy

vp

=

8

8

=1
θ=45°
答：（1）小球運動到數字“8”的最高點N處和數字“0”的最高點M處的角速度之比為

2

1

．
（2）小球到達數字“8”的最高點N時管道對小球作用力的大小為0.7N，方向豎直向下．
（3）小球從p點拋出后落到地面時的速度為4m/s，與 水平方向的夾角為45°．

點評：本題綜合考查了動能定理、機械能守恒定律和牛頓第二定律，涉及到直線運動、圓周運動和平拋運動，綜合性較強，關鍵理清運動過程，選擇適當的研究過程，運用動能定理或機械能守恒定律解題．