Question

如圖所示，在傾角θ=30°的斜面上放置一段凹槽B，B與斜面間的動摩擦因數μ=

3

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，槽內靠近右側壁處有一小物塊A（可視為質點），它到凹槽左側壁的距離d=0.10m．A、B的質量都為m=2.0kg，B與斜面間的最大靜摩擦力可認為等于滑動摩擦力，不計A、B之間的摩擦，斜面足夠長．現同時由靜止釋放A、B，經過一段時間，A與B的側壁發生碰撞，碰撞過程不計機械能損失，碰撞時間極短．取g=10m/s²．求：
（1）畫出凹槽B運動的速度v隨時間t的變化圖象；
（2）物塊A與凹槽B的左側壁第n次碰撞后瞬間A、B的速度大小；
（3）從初始位置到物塊A與凹槽B的左側壁發生第n次碰撞時B的位移大小．

Answer 1

分析：（1）對B進行受力分析，判斷B的運動狀態，釋放后A做勻加速直線運動，A、B兩物體質量相等，發生彈性碰撞時它們交換速度，由牛頓第二定律及運動學公式求出物體的速度，然后畫出v-t圖象．
（2）由（1）求出A、B碰撞n次后，A、B的速度．
（3）根據A、B的運動過程，應用v-t圖象可以求出B的位移．

解答：解（1）B與斜面間的滑動摩擦力為：f=μ×2mgcos30°=

1

2

mg
B所受重力沿斜面向下的分力為：G₁=mgsin30°=

1

2

mg
B所受最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，B沿斜面的分力與最大靜摩擦力相等，釋放B后，B靜止；
釋放A后，A做勻加速直線運動，由牛頓第二定律得：mgsin30°=ma，a=5m/s²
由勻變速運動的速度位移公式可得：v_A1²-0=2ad，A與B碰撞前A的速度為：v_A1=1m/s；
A、B碰撞時動量守恒，A、B碰撞時不計機械能損失，碰撞是彈性碰撞，由于A、B質量相等，碰撞時A、B交換速度，碰后A速度為零，B的速度為：v_B1=1m/s，碰后B做勻速直線運動，A做初速度為零的勻加速運動，
設經過時間t后，A、B速度相等，v_A2=at，t=0.2s，A的位移為：s_A1=

1

2

at²=0.10m=d，此時間內B沿斜面方向的位移為：SB1=vB1t=0.2m，故此時刻AB的相對位置重新回到初始狀態，A相對于B物體的相對運動仍為初速度為零、加速度為a=gsin30°的勻加速直線運動，可知再經過t=0.2s發生第二次碰撞，碰時A球速度為：vA3=vA2+at=0.2+5×0.2m/s=0.3m/s，碰后兩球再次交換速度，B的速度改為0.3m/s，A的速度人為0.2m/s，之后重復以上的運動過程，每過0.4s碰撞一次，碰后B的速度每次增加1m/s，圖象如下
（2）因為B與斜面間的滑動摩擦力f=μ×2mgcos30°=

1

2

mg，B所受重力沿斜面向下的分力G₁=mgsin30°=

1

2

mg，B所受最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，B沿斜面的分力與最大靜摩擦力相等，釋放B后，B靜止；
釋放A后，A做勻加速直線運動，由牛頓第二定律得：
mgsin30°=ma，
a=5m/s²，
由勻變速運動的速度位移公式可得：v_A1²-0=2ad，
A與B碰撞前A的速度v_A1=1m/s；
A、B碰撞時動量守恒，A、B碰撞時不計機械能損失，碰撞是彈性碰撞，由于A、B質量相等，碰撞時A、B交換速度，碰后A速度為零，B的速度為：
v_B1=1m/s，
碰后B做勻速直線運動，A做初速度為零的勻加速運動，設經過時間t后，A、B速度相等，
v_A2=at，
t=0.2s，
A的位移s_A1=

1

2

at²=0.10m=d，
此時間內B沿斜面方向的位移為：
SB1=vB1t=0.2m，
故此時刻AB的相對位置重新回到初始狀態，A相對于B物體的相對運動仍為初速度為零、加速度為a=gsin30°的勻加速直線運動，可知再經過t=0.2s發生第二次碰撞，碰時A球速度為：
vA3=vA2+at=1+5×0.2m/s=2m/s
碰后兩球再次交換速度，B的速度改為2m/s，A的速度改為1m/s，之后重復以上的運動過程，每過0.4s碰撞一次，碰后B的速度每次增加1m/s
故：v_An=（n-1）m/s，v_Bn=n m/s
（3）由v--t圖象得，從初始位置到物塊A與凹槽B的左側壁發生第n次碰撞時B的位移大小為：
x_總=0×0.2+1×0.4+2×0.4+---+（n-1）×0.4=0.2n²-0.2n
答：（1）畫出凹槽B運動的速度v隨時間t的變化圖象為：
（2）物塊A與凹槽B的左側壁第n次碰撞后瞬間A、B的速度大小為v_An=（n-1）m/s，v_Bn=n m/s
（3）從初始位置到物塊A與凹槽B的左側壁發生第n次碰撞時B的位移大小為0.2n²-0.2n

點評：本題是復雜的力學綜合題，分析運動情況，把握每個過程的物理規律是關鍵．對于A、B的碰撞過程，屬于彈性碰撞過程，兩者質量相等，交換速度．此外注意應用圖象求解位移是個好方法