Question

如圖，豎直環A半徑為r，固定在木板B上，木板B放在水平地面上，B的左右兩側各有一檔板固定在地上，B不能左右運動，在環的最低點靜放有一小球C，A、B、C的質量均為m．給小球一水平向右的瞬時沖量I，小球會在環內側做圓周運動，為保證小球能通過環的最高點，且不會使環在豎直方向上跳起，瞬時沖量必須滿足（　　）

• A．最小值m

  4gr

• B．最小值m

  5gr

• C．最大值m

  6gr

• D．最大值m

  7gr

Answer 1

分析：當小球恰好到達最高點時，由重力提供向心力，求出小球在最高點時速度，根據機械能守恒定律求出小球經過最低點時速度，由動量定理求出瞬時沖量的最小值．當小球經過最高點恰好使環在豎直方向上跳起時，對環的壓力等于環和木板B的重力和時，根據牛頓第二定律求出小球在最高點時速度，根據機械能守恒定律求出小球經過最低點時速度，由動量定理求出瞬時沖量的最大值．

解答：解：當小球恰好到達最高點時，設小球經過最高點時速度為v₁，最低點速度為v₂，則
mg=m

v 2 1

r

                 ①
根據機械能守恒定律得
mg?2r+

1

2

m

v

2 1

=

1

2

m

v

2 2

       ②
由①②聯立得
v₂=

5gr

由動量定理求出瞬時沖量的最小沖量I₁=mv₂=m

5gr

．
當小球經過最高點恰好使環在豎直方向上跳起時，小球對環的壓力等于環的重力和木板B的重力和．
以小球為研究對象，根據牛頓第二定律得
mg+2mg=m

v ′ 2 1

r

             ③
根據機械能守恒定律得
mg?2r+

1

2

m

v ′ 2 1

r

=

1

2

mv

′

2 2

      ④
解得v₂′=

7gr

由動量定理求出瞬時沖量的最大沖量I₂=mv₂′=m

7gr

綜上，為保證小球能通過環的最高點，且不會使環在豎直方向上跳起，則瞬時沖量的最小值為m

5gr

，最大值為m

7gr

．
故選BD．

點評：本題考查機械能守恒定律、牛頓第二定律和動量定理綜合應用的能力，本題要緊扣臨界條件．