Question

在豎直平面內放置一長為L、內壁光滑的薄壁玻璃管，在玻璃管的a端放置一個直徑比玻璃管直徑略小的小球，小球帶電荷量為-q、質量為m．玻璃管右邊的空間存在著勻強磁場與勻強電場．勻強磁場方向垂直于紙面向外，磁感應強度為B；勻強電場方向豎直向下，電場強度大小為mg/q．如圖所示，場的左邊界與玻璃管平行，右邊界足夠遠．玻璃管帶著小球以水平速度v₀垂直于左邊界進入場中向右運動，由于水平外力F的作用，玻璃管進入場中速度保持不變，一段時間后小球從玻璃管b端滑出并能在豎直平面內運動，最后從左邊界飛離電磁場．運動過程中小球電荷量保持不變，不計空氣阻力．
（1）試求小球從玻璃管b端滑出時的速度大小；
（2）試求小球離開場時的運動方向與左邊界的夾角．

Answer 1

分析：（1）小球在玻璃管中沿水平方向做勻速直線運動，豎直方向做初速為零的勻加速直線運動，根據電場力與重力平衡，可確定電場力，從而求出加速度．并由運動學公式，可求出小球運動到b端的速度大小；
（2）根據左手定則來確定洛倫茲力的方向，從而畫出粒子的運動軌跡，并由牛頓第二定律與幾何關系來確定，即可求解．

解答：解：（1）小球在玻璃管中沿水平方向做勻速直線運動，豎直方向做初速為零的勻加速直線運動，由E=

mg

q

得：
Eq=mg，即重力與電場力平衡，
所以小球在管中運動的加速度為：a=

Fy

m

=

Bv0q

m

設小球運動至b端時的y方向速度分量為v_y，則：vy2=2aL
所以小球運動至b端時速度大小為：v=

2Bv0qL m +v02

（2）設小球在管中運動的時間為t，小球在磁場中做圓周運動的半徑為R，運動軌跡如圖所示，t時間內玻璃管的運動距離x=v₀t
由牛頓第二定律得：qvB=

mv2

R

由幾何關系得：sinα=

x-x1

R

因為

x1

R

=

vy

v

，所以：x1=

vy

v

R=

qv0Bt

mv

=v0t=x，
可得sinα=0
故α=0°，即小球飛離磁場時速度方向垂直于磁場邊界向左．
答：（1）小球從玻璃管b端滑出時的速度大小為v=

2Bv0qL m +v02

；
（2）小球離開場時的運動方向與左邊界的夾角為0．

點評：考查粒子做類平拋運動的處理規律，以及粒子做勻速圓周運動的處理方法，掌握牛頓第二定律與幾何關系的綜合應用．