Question

【題目】如圖所示，在光滑的水平面上相距0.1m處釘兩枚鐵釘A、B，長(zhǎng)1m的柔軟細(xì)線一端拴在A上，另一端拴一質(zhì)量為500g的小球，小球的初始位置在AB連線上的A的一側(cè)，把細(xì)線拉直，給小球以2m/s，垂直于細(xì)線方向的水平速度，使它做圓周運(yùn)動(dòng).由于釘子B的存在，使細(xì)線逐漸纏繞在AB上，問(wèn)：線全部纏繞在釘子上的時(shí)間是多少？如果細(xì)線的抗斷張力為7N，從開(kāi)始經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間繩子斷裂？

Answer 1

【答案】8.6s 7.7s

【解析】在小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，由于細(xì)繩不斷纏在A、B上，其軌道半徑逐漸減小．

小球受到的繩子的拉力提供向心力，即，且F隨R的減小而增大，而運(yùn)動(dòng)的半個(gè)周期 隨繩長(zhǎng)的減小而減小．推算出每個(gè)半周期的時(shí)間及周期數(shù)，就可求出總時(shí)間．根據(jù)繩子能承受的最大拉力，可求出細(xì)繩拉斷所經(jīng)歷的時(shí)間．

設(shè)AB間距離為d，

在第一個(gè)半周期內(nèi)： ，

在第二個(gè)半周期內(nèi)： ，

在第三個(gè)半周期內(nèi)： ，

依此類推，在第n個(gè)半周期內(nèi)： ，

由于： ，所以

（1）小球從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到細(xì)線完全纏到A、B上的時(shí)間： ;

（2）設(shè)在第x個(gè)半周期時(shí)， ．由

代入數(shù)據(jù)得:

解得 ，取x=8．

代入第1題表達(dá)式得： t=t1+t2+t3+…+t8=