Question

【題目】有一個擺長為L的單擺（擺球可視為質點，擺線的質量不計），在過懸掛點的豎直線上距懸掛點O的距離為x處（）的C點有一個固定的釘子，如圖所示，當擺擺時，擺線會受到釘子的阻擋，當L一定而x取不同值時，阻擋后擺球的運動情況將不同，現將擺拉到位于豎直線的左方（擺球的高度不超過O點）然后放手，令其自由擺動，如果擺線被釘子阻擋后，擺球恰能夠擊中釘子，試求x的最小值。

Answer 1

【答案】

【解析】擺線受阻后在一段時間內擺球作圓周運動，若擺球的質量為m，
則擺球受重力mg和擺線拉力T的作用，設在這段時間內任一時刻的速度為v，如圖所示：

用表示此時擺線與重力方向之間的夾角，
由牛頓第二定律得：，
運動過程中機械能守恒，令表示擺線在起始位置時與豎直方向的夾角，取O點為勢能零點，由機械能守恒定律得：，
擺受阻后，如果后來擺球能擊中釘子，則必定在某位置時擺線開始松弛，
此時，此后擺球僅在重力作用下作斜拋運動，設在該位置時擺球速度，擺線與豎直線的夾角，
解得：，，
要求作斜拋運動的擺球擊中C點，
則應滿足下列關系式：，，
解得：，，，越大，越小，越小，最大值為，由此可求得x的最小值：，

則：。