Question

(16分)如圖所示，均勻光滑直桿AB長為L，可繞光滑固定轉軸O轉動，O距B點L/3處。在水平桿的另一端A下擺經過的軌跡上安裝光電門，用來測量A端的瞬時速度v_A，光電門測量位置和轉軸O的高度差h可以調節，有一質最為m的小球套在光滑桿上，重力加速度g取10m/s²。

⑴若桿的質量忽略不計，小球固定在桿OA的中點處，由靜止釋放桿，請寫出光電門測量到的速度v_A與高度差h的關系式；
⑵實際情況下桿的質量M不能忽略，拿走小球后重復實驗，得到了如圖所示的與h關系圖線．請寫出桿繞O點轉動時的動能E_k與v_A的關系式；
⑶若桿的質量M＝3kg，小球m＝2kg固定在桿OA的中點處，將桿由水平位置靜止釋放，請根據計算分析在圖丙中畫出與h關系圖線。

Answer 1

⑴v_A＝；⑵E_k＝；⑶＝42h，

試題分析：⑴根據圖中幾何關系可知，當A端下降h高度時，小球下降的高度為h/2，設此時小球的速度大小為v₁，根據機械能守恒定律有：＝      ①
小球與A端共軸轉動，因此有：v_A＝2v₁       ②
由①②式聯立解得：v_A＝
⑵當考慮桿的質量，拿走小球后，桿的重心距轉軸O的距離為L/6，因此桿的重心下降高度H與桿A端下降高度h的關系為：H＝h/4        ③
在轉動過程中，根據機械能守恒定律有：E_k＝MgH       ④
由與h關系圖線可知：＝45h       ⑤
由③④⑤式聯立解得：E_k＝＝
⑶由⑴⑵中分析可知，對桿和小球系統，根據機械能守恒定律有：＋＝＋
代入數據化簡得：＝42h，所畫與h關系圖線如下圖所示。