Question

【題目】消防車(chē)的供水系統(tǒng)主要由水泵、輸水管道和水炮組成。如圖所示，消防水炮離地高度為H＝80 m，建筑物上的火點(diǎn)離地高度為h＝60 m，整個(gè)供水系統(tǒng)的效率η＝60%（供水效率η定義為單位時(shí)間內(nèi)抽水過(guò)程水所獲得的機(jī)械能與水泵功率的比值×100%）。假設(shè)水從水炮水平射出，水炮的出水速度v0＝30 m/s，水炮單位時(shí)間內(nèi)的出水量m0＝60 kg/s，取g＝10 m/s2，不計(jì)空氣阻力。

（1）求水炮與火點(diǎn)的水平距離x，和水炮與火點(diǎn)之間的水柱的質(zhì)量m；

（2）若認(rèn)為水泵到炮口的距離也為H＝80 m，求水泵的功率P；

（3）如圖所示，為流速穩(wěn)定分布、體積不可壓縮且粘性可忽略不計(jì)的液體（比如水）中的一小段液柱，由于體積在運(yùn)動(dòng)中不變，因此當(dāng)S1面以速度v1向前運(yùn)動(dòng)了x1時(shí)，S2面以速度v2向前運(yùn)動(dòng)了x2，若該液柱前后兩個(gè)截面處的壓強(qiáng)分別為p1和p2，選用恰當(dāng)?shù)墓δ荜P(guān)系證明：流速穩(wěn)定分布、體積不可壓縮且粘性可忽略不計(jì)的液體水平流動(dòng)（或者高度差的影響不顯著）時(shí)，液體內(nèi)流速大的地方壓強(qiáng)反而小。

Answer 1

【答案】(1) 120kg (2) 1.25×102 kW (3)見(jiàn)解析；

【解析】

(1)根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，有

H－h＝gt2 ①

x＝v0t ②

聯(lián)立上述兩式，并代入數(shù)據(jù)得

t=＝2 s

x＝v0＝60 m ③

水炮與火點(diǎn)之間的水柱的質(zhì)量

m= m0t=120kg ④

(2)設(shè)在Δt時(shí)間內(nèi)出水質(zhì)量為Δm，則Δm= m0Δt，由功能關(guān)系得：

⑤

即

解得：

P＝＝1.25×102 kW ⑥

(3)表示一個(gè)細(xì)管，其中流體由左向右流動(dòng)。在管的a1處和a2處用橫截面截出一段流體，即a1處和a2處之間的流體，作為研究對(duì)象。

a1處的橫截面積為S1，流速為v1，高度為h1，a1處左邊的流體對(duì)研究對(duì)象的壓強(qiáng)為p1，方向垂直于S1向右。

a2處的橫截面積為S2，流速為v2，高度為h2，a2處左邊的流體對(duì)研究對(duì)象的壓強(qiáng)為p2，方向垂直于S2向左。

經(jīng)過(guò)很短的時(shí)間間隔Δt，這段流體的左端S1由a1移到b1。右端S2由a2移到b2。兩端移動(dòng)的距離分別為Δl1和Δl2。左端流入的流體體積為ΔV1=S1Δl1，右端流出的流體體積為ΔV2=S2Δl2，理想流體是不可壓縮的，流入和流出的體積相等，ΔV1=ΔV2，記為ΔV。

現(xiàn)在考慮左右兩端的力對(duì)這段流體所做的功。

作用在液體左端的力F1=p1S1向右，所做的功

W1=F1Δl1=(p1S1)Δl1=p1(S1Δl1) =p1ΔV。

作用在液體右端的力F2=p2S2向左，所做的功

W2=－F2Δl2=－(p2S2)Δl2=－p2(S2Δl2) =－p2ΔV。

外力所做的總功

W= W1＋W2=(p1－p2)ΔV ①

外力做功使這段流體的機(jī)械能發(fā)生改變。初狀態(tài)的機(jī)械能是a1處和a2處之間的這段流體的機(jī)械能E1，末狀態(tài)的機(jī)械能是b1處和b2處之間的這段流體的機(jī)械能E2。由b1到a2這一段，經(jīng)過(guò)時(shí)間Δt，雖然流體有所更換，但由于我們研究的是理想流體的定常流動(dòng)，流體的密度ρ和各點(diǎn)的流速v沒(méi)有改變，動(dòng)能和重力勢(shì)能都沒(méi)有改變，所以這一段的機(jī)械能沒(méi)有改變，這樣機(jī)械能的改變(E2－E1)就等于流出的那部分流體的機(jī)械能減去流入的那部分流體的機(jī)械能。

由于m=ρΔV，所以流入的那部分流體的動(dòng)能為

重力勢(shì)能為

mgh1＝ρΔVgh1

流出的那部分流體的動(dòng)能為

重力勢(shì)能為

mgh2＝ρΔVgh2

機(jī)械能的改變?yōu)?/span>

②

理想流體沒(méi)有粘滯性，流體在流動(dòng)中機(jī)械能不會(huì)轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，所以這段流體兩端受的力所做的總功W等于機(jī)械能的改變，即

W=E2－E1 ③

將①式和②式代入③式，得

④

整理后得

⑤

a1和a2是在流體中任意取的，所以上式可表示為對(duì)管中流體的任意處：

（常量）⑥

④式和⑤式稱(chēng)為伯努利方程。

流體水平流動(dòng)時(shí)，或者高度差的影響不顯著時(shí)（如氣體的流動(dòng)），伯努利方程可表達(dá)為

（常量）⑦

從⑥式可知，在流動(dòng)的流體中，壓強(qiáng)跟流速有關(guān)，流速v大的地方要強(qiáng)p小，流速v小的地方壓強(qiáng)p大。