Question

如圖所示，用內壁光滑的薄壁細圓管彎成的由半圓形APB（圓半徑比細管的內徑大得多）和直線BC組成的軌道固定在水平桌面上，已知APB部分的半徑R=1.0m，BC段長L=1.5m．彈射裝置將一個質量m=0.1Kg的小球（可視為質點）以v₀=5m/s的水平初速度從A點彈入軌道，小球從C點離開軌道隨即水平拋出，落地點D離開C的水平距離s=2m，不計空氣阻力，g取10m/s²，求：
（1）小球在半圓軌道上運動時的角速度ω和加速度a的大小
（2）小球在半圓軌道上運動時向心力的大小
（3）小球從A點運動到C點的時間t
（4）桌子的高度h．

Answer 1

分析：（1）小球在半圓形APB管內做勻速圓周運動，角速度為ω=

v0

R

，加速度a=ωv₀．
（2）根據牛頓第二定律求出向心力的大小；
（3）小球離開圓管后先做勻速直線運動，離開桌面后做平拋運動，根據運動學公式分別求出A到B和B到C的運動時間，從而求出小球從A到C的時間．
（4）根據平拋運動水平方向上運動的時間和豎直方向上運動的時間相等，求出桌子的高度．

解答：解：（1）小球在半圓形APB管內做勻速圓周運動時，角速度為ω=

v0

R

=

5

1

rad/s=5rad/s．
加速度為：a=ωv₀=5×5m/s²=25m/s²．
（2）設向心力的大小為F，根據牛頓第二定律得，F=ma=0.1×25N=2.5N．
（3）小球從A到B的時間 t₁=

πR

v0

=

π

5

s，從B到C做勻速直線運動，時間為t₂=

L

v0

=

1.5

5

s=0.3s
故小球從A點運動到C點的時間：t=t₁+t₂=

π

5

s+0.3s≈0.93s；
（4）小球從C到D的過程做平拋運動，則有：
  h=

1

2

gt2
  s=v₀t；
聯立得：h=

s2g

2 v 2 0

=

22×10

2×52

m=0.8m；
答：
（1）小球在半圓軌道上運動時的角速度ω為5rad/s，加速度a的大小為25m/s²．
（2）小球在半圓軌道上運動時向心力的大小為2.5N．
（3）小球從A點運動到C點的時間t約為0.93s；
（4）桌子的高度h為0.8m．

點評：解決本題的關鍵知道角速度、加速度與線速度的關系，以及知道平拋運動在水平方向和豎直方向上的運動規律，知道分運動與合運動具有等時性．