Question

如題圖所示，在半徑為a的圓柱空間中（圖中圓為其橫截面）充滿磁感應強度大小為B的均勻磁場，其方向平行于軸線遠離讀者．在圓柱空間中垂直軸線平面內固定放置一絕緣材料制成的邊長為L=1．6a的剛性等邊三角形框架ΔDEF，其中心O位于圓柱的軸線上．DE邊上S點（）處有一發射帶電粒子的源，發射粒子的方向皆在圖題圖中截面內且垂直于DE邊向下。發射粒子的電量皆為q（＞0），質量皆為m，但速度v有各種不同的數值。若這些粒子與三角形框架的碰撞無能量損失，電量也無變化，且每一次碰撞時速度方向均垂直于被碰的邊。試問：

（1）帶電粒子經多長時間第一次與DE邊相碰？

（2）帶電粒子速度v的大小取哪些數值時可使S點發出的粒子最終又回到S點？

（3）這些粒子中，回到S點所用的最短時間是多少？

Answer 1

（1） 

（2）            

（3）                                

解析:

解：

（1）帶電粒子（以下簡稱粒子）從S點垂直于DE邊以速度v射出后，在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動

 （1分）  得        ①（1分）

粒子在磁場中做圓周運動的周期為：   （1分）

將①式代入，得：                 ②（1分）

粒子第一次與DE邊相碰：         （2分）

（2）帶電粒子（以下簡稱粒子）從S點垂直于DE邊以速度v射出后，在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，其圓心一定位于DE邊上，粒子每次與ΔDEF的三條邊碰撞時都與邊垂直，且能回到S點，如題解圖所示，粒子運動軌跡圓的圓心一定位于Δ的邊上，粒子繞過Δ頂點D、E、F時的圓弧的圓心就一定要在相鄰邊的交點（即D、E、F）上。、的長度應是R_n的奇數倍即：

 (＝1，2，3，…)                  ③（2分）

此時為R_n的奇數倍的條件自然滿足。

而粒子要能繞過頂點與Δ的邊相碰，則粒子作圓周運動的半徑R不能太大，如圖題解圖，

必須有：                    ④（2分）

由圖中的幾何關系計算可知：

            ⑤（1分）

將 1，2，3，…，分別代入③式，得

             

           

由于R₁，R₂，≥，這些粒子在繞過Δ的頂點E時，將從磁場邊界逸出，只有n≥4的粒子能經多次碰撞繞過E、F、D點，最終回到S點．由此結論及①、③兩式可得與之相應的速度：

                      ⑥（4分）

（3）由②可知，在B及q/m給定時T與v無關。粒子從S點出發最后回到S點的過程中，與Δ的邊碰撞次數愈少，所經歷的時間就愈少，所以應取n=4，如題解圖所示（圖中只畫出在邊框DE的碰撞情況），此時粒子的速度為v₄，由圖可看出該粒子的軌跡包括3×13個半圓和3個圓心角為300°的圓弧，所需時間為：  ⑦（3分）

以②式代入得：                                            ⑧（2分）