Question

質量為m的小球B與質量為2m的小球C之間用一根輕質彈簧連接，現把它們放置在豎直固定的內壁光滑的直圓筒內，平衡時彈簧的壓縮量為x₀，如圖所示，設彈簧的彈性勢能與彈簧的形變量（即伸長量或縮短量）的平方成正比．小球A從小球B的正上方距離為3x₀的P處自由落下，落在小球B上立刻與小球B粘連在一起向下運動，它們到達最低點后又向上運動．已知小球A的質量也為m時，它們恰能回到O點（設3個小球直徑相等，且遠小于x₀，略小于直圓筒內徑），問小球A至少在B球正上方多少距離處自由落下，與B球粘連后一起運動，可帶動小球C離開筒底．

Answer 1

分析：小球A下落過程只受重力，機械能守恒；由機械能守恒定律可求得小球A的末速度；再由動量守恒可求得碰后的共同速度；如果讓B帶動C向上運動，應使彈簧伸長到使彈力大于等于C的重力；由機械能守恒定律可列出表達式，聯立以上關系可求得小球至少在B球上方的距離．

解答：解：設小球A由初始位置下落至小球B碰撞前的速度為v₀，由機械能守恒得：
mg3x₀=

1

2

mv₀²  （1）
所以：v₀=

6gx0

  （2）
設小球A與小球B碰撞后共同速度為v₁，由動量守恒得：mv₀=2mv₁  （3）
所以：v₁=

1

2

6gx0

   （4）
設彈簧初始的彈性勢能為E_P，則碰撞后回到O點時機械能守恒得：
2mgx₀=

1

2

×2mv₁²+E_P   （5）
由（1）（3）（5）式可得：E_P=

1

2

mgx₀   （6）
小球B處于平衡時，有（設k為彈簧的勁度系數）
kx₀=mg    （7）
當小球C剛好被拉離筒底時，有：
kx=2mg   （8）
由（7）（8）可知：x=2x₀    （9）
根據題中條件可知，小球C剛好被拉離筒底時，彈簧彈性勢能為：E'_P=4E_P   （10）
設小球A至少在B球正上方h處高處下落，且與小球B碰撞前速度為v₃，由機械能守恒，得：
mgh=

1

2

mv₃²   （11）
設小球A與小球B碰撞后共同速度為v₄
由動量守恒可得：mv₃=2mv₄   （12）
由機械能守恒得：

1

2

×2mv₄²+E_P=E'_p+2mg×3x₀   （13）
由（6）（10）（11）（12）（13）可得：h=15x₀    （14）
答：小球至少距B球15x₀才能帶動C離開筒底．

點評：本題考查動量守恒定律、牛頓運動定律及運動學公式，過程較為復雜，要求學生能正確理解運動過程，并能找出應用的物理規律進行列式計算．