Question

【題目】如圖所示(俯視)，MN和PQ是兩根固定在同一水平面上的足夠長且電阻不計的平行金屬導軌。兩導軌間距為L＝0.2 m，其間有一個方向垂直水平面豎直向下的勻強磁場，磁感應強度B1＝5.0 T。導軌上NQ之間接一電阻R1＝0.40 Ω，阻值為R2＝0.10 Ω的金屬桿垂直導軌放置并與導軌始終保持良好接觸。兩導軌右端通過金屬導線分別與電容器C的兩極板相連。電容器C緊靠準直裝置b，b緊挨著帶小孔a(只能容一個粒子通過)的固定絕緣彈性圓筒，圓筒壁光滑，筒內有垂直水平面豎直向下的勻強磁場，磁感應強度為B2，O是圓筒的圓心，圓筒的內半徑r＝0.40 m。

(1)用一個方向平行于MN水平向左且功率恒定為P＝80 W的外力F拉金屬桿，使桿從靜止開始向左運動。已知桿受到的摩擦阻力大小恒為Ff＝6 N，求：當金屬桿最終勻速運動時桿的速度大小及電阻R1消耗的電功率？

(2)當金屬桿處于(1)問中的勻速運動狀態時，電容器C內緊靠極板的D處的一個帶正電的粒子經C加速、b準直后從a孔垂直磁場B2并正對著圓心O進入筒中，該帶電粒子與圓筒壁碰撞四次恰好又從小孔a射出圓筒。已知該帶電粒子每次與筒壁發生碰撞時電荷量和能量都不損失，不計粒子的初速度、重力和空氣阻力，粒子的比荷q/m＝5×107 C/kg，則磁感應強度B2多大(結果用含有正切形式的三角函數式表達)?

Answer 1

【答案】(1)5 m/s　40 W　(2) 或

【解析】（1）金屬桿先做加速度變小的加速運動，最終以最大速度勻速運動.設桿勻速運動時速度為v，回路中的感應電流為I，桿受到的安培力大小為FA，電阻R1消耗的電功率為P1，則

（1）（2）（3）

聯立（2）(3)得：（4）

將已知數據代入(4)式解得：……（4分）

以及：……（1分）

（2）設桿勻速運動時C兩極板間的電壓為U，帶電粒子進入圓筒的速率為V、在磁場中作勻速圓周運動的半徑為R，由于C與電阻R1并聯，

據歐姆定律得，

據動能定理有，（5）

帶電粒子在磁場中作勻速圓周運動，（6）

聯立（5）（6）得：（7）……（4分）

由于帶電粒子與圓筒壁碰撞時無電量和能量損失，那么每次碰撞前后粒子速度大小不變、速度方向總是沿著圓筒半徑方向，4個碰撞點與小孔a恰好將圓筒壁五等分，粒子在圓筒內的軌跡具有對稱性，由5段相同的圓弧組成，設每段軌跡圓弧對應的圓心角為，則由幾何關系可得：

（8）……（1分）

有兩種情形符合題意（如圖所示）：

（ⅰ）情形1：每段軌跡圓弧對應的圓心角為

聯立（7）（8）并代入值得：（9）

將數據代入(9)式得：（10）……（4分）

（ⅱ）情形2：每段軌跡圓弧對應的圓心角為

聯立（7）（8）并代入值得：（11）

將數據代入(11)式得：（12）……（4分）