Question

如圖所示，質量為m＝0.1 kg可視為質點的小球從靜止開始沿半徑為R1＝35 cm的圓弧軌道AB由A點滑到B點后，進入與AB圓滑連接的1/4圓弧管道BC.管道出口處為C，圓弧管道半徑為R2＝15 cm，在緊靠出口C處，有一水平放置且繞其水平軸線勻速旋轉的圓筒(不計筒皮厚度)，筒上開有小孔D，筒旋轉時，小孔D恰好能經過出口C處，若小球射出C出口時，恰好能接著穿過D孔，并且還能再從D孔向上穿出圓筒，小球到最高點后返回又先后兩次向下穿過D孔而未發生碰撞，不計摩擦和空氣阻力，g取10 m/s2，問：

(1)小球到達B點的瞬間前后對軌道的壓力分別為多大？
(2)小球到達C點的速度多大？
(3)圓筒轉動的最大周期T為多少？

Answer 1

(1) N′₁＝N₁＝3 N；N′₂＝N₂＝5.7 N  (2) 0.2 s.   1分

(1)AB過程機械能守恒：mgR₁＝mv_B²　v_B＝m/s     2分
到達B點瞬間前：N₁－mg＝m    1分
到達B點瞬間后：N₂－mg＝m      1分
依牛頓第三定律，對軌道的壓力大小分別為N′₁＝N₁＝3 N；N′₂＝N₂＝5.7 N  2
(2)小球向上穿過圓筒D孔又從D孔向上穿出所用的時間t₁＝T(k＝1、2、3……)；
小球向上穿出D孔后豎直上拋又返回到D孔進入圓筒所用時間為2t₂＝nT(n＝1、2、3……)又由豎直上拋規律有：0＝v_C－g(t₁＋t₂)    1分
所以T＝           2  分
當k＝n＝1時T有最大值，所以T＝0.2 s.    1分
本題考查動能定理和圓周運動規律的應用，在B點為圓周運動的一部分，由支持力和重力的合力提供向心力，由動能定理可求得B點速度大小，再由向心力公式求得支持力大小，由A到C應用動能定理可求得C點速度大小，由于圓筒轉動的周期性，經過半個周期的奇數倍時物體能從C點穿出，于是得到周期T的表達式，由此N=1時周期最大