Question

（01年上海卷）（18分）如圖所示，光滑斜面的底端a與一塊質量均勻、水平放置的平極光滑相接，平板長為2L，L＝1m，其中心C固定在高為R的豎直支架上，R＝1m，支架的下端與垂直于紙面的固定轉軸O連接，因此平板可繞轉軸O沿順時針方向翻轉。問：

（1）在外面上離平板高度為h₀處放置一滑塊A，使其由靜止滑下，滑塊與平板間的動摩擦因數μ＝0.2，為使平板不翻轉，h₀最大為多少？

（2）如果斜面上的滑塊離平板的高度為h₁＝0.45 m，并在h₁處先后由靜止釋放兩塊質量相同的滑塊A、B，時間間隔為Δt＝0.2s，則B滑塊滑上平板后多少時間，平板恰好翻轉。（重力加速度g取10 m/s²）

Answer 1

解析：

（1）設A滑到a處的速度為v₀＝       ①

 

f＝uN，N＝mg，f＝ma，

 

a＝ug                                                          ②

 

滑到板上離a點的最大距離為

 

v₀²＝2ugs₀，

 

s₀＝2gh₀/2ug＝h₀/u                                     ③

 

A在板上不翻轉應滿足條件：摩擦力矩小于正壓力力矩，即M_摩擦≤M_壓力

 

umgR≤mg(L－s₀)                                      ④

 

h₀≤u(L－Ur)＝0.2(1－0.2)＝0.16 m            ⑤

 

（2）當h＝0.45m，v_A＝＝＝3m/s

 

v_A＝v_B＝3m/s                                            ⑥

 

設B在平板上運動直到平板翻轉的時刻為t，取Δt＝0.2s

 

s_A＝v_A(t＋Δt)－ug(t＋Δt)²/2                       ⑦’

 

s_B＝v_Bt－ugt²/2                                          ⑦

 

兩物體在平板上恰好保持平板不翻轉的條件是

 

2umgR＝mg(L－s_A)＋mg(L－s_B)                 ⑧

 

由⑦＋⑦’式等于⑧式，得t＝0.2s