Question

【題目】如圖所示，寬度為L的平行光滑的金屬軌道，左端為半徑為r1的四分之一圓弧軌道，右端為半徑為r2的半圓軌道，中部為與它們相切的水平軌道．水平軌道所在的區(qū)域有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．一根質(zhì)量為m的金屬桿a置于水平軌道上，另一根質(zhì)量為M的金屬桿b由靜止開始自左端軌道最高點(diǎn)滑下．當(dāng)b滑入水平軌道某位置時(shí)，a就滑上了右端半圓軌道最高點(diǎn)(b始終運(yùn)動(dòng)且a、b未相撞)，并且a在最高點(diǎn)對(duì)軌道的壓力大小為mg，此過程中通過a的電荷量為q，a、b棒的電阻分別為R1、R2，其余部分電阻不計(jì)．在b由靜止釋放到a運(yùn)動(dòng)到右端半圓軌道最高點(diǎn)過程中，求：

(1)在水平軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，b的最大加速度是多大？

(2)a剛到達(dá)右端半圓軌道最低點(diǎn)時(shí)b的速度是多大？

(3)自b釋放到a到達(dá)右端半圓軌道最高點(diǎn)過程中系統(tǒng)產(chǎn)生的焦耳熱是多少？

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)

【解析】試題分析：b棒從左側(cè)軌道下滑的過程中，只有重力做功，其機(jī)械能守恒，求出b進(jìn)入剛進(jìn)入水平軌道時(shí)的速度大小．進(jìn)入水平軌道后b棒切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電流，a棒由于受到安培力作用向右運(yùn)動(dòng)，回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)將要減小，感應(yīng)電流也減小，則知b棒的加速度減小，則b棒剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)加速度最大，由牛頓第二定律和安培力公式結(jié)合求解．當(dāng)兩棒都在水平軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩棒組成的系統(tǒng)合外力為零，動(dòng)量守恒，可求出a剛到達(dá)右端半圓軌道最低點(diǎn)時(shí)b的速度；此過程中通過a的電荷量為q，根據(jù)動(dòng)量定理求出b棒后來的速度．對(duì)a棒：由牛頓運(yùn)動(dòng)定律求出通過最高點(diǎn)時(shí)的速度，由機(jī)械能守恒定律求出離開磁場(chǎng)時(shí)的速度．由能量守恒定律即可求解系統(tǒng)產(chǎn)生的焦耳熱．

（1）由機(jī)械能守恒定律得：

解得：

b剛滑到水平軌道時(shí)加速度最大，有

根據(jù)：E＝BLvb1

由牛頓第二定律有F安＝BIL＝Ma

解得

(2)a由最低點(diǎn)到最高點(diǎn)，由能量守恒定律，有

解得：

由a剛開始運(yùn)動(dòng)至到達(dá)半圓軌道最低點(diǎn)，由動(dòng)量守恒定律有

Mvb1＝Mvb3＋mva2

解得

(3)由動(dòng)量定理有－BILt＝Mvb2－Mvb1

即－BLq＝Mvb2－Mvb1

解得

a在半圓軌道最高點(diǎn)，有

根據(jù)牛頓第三定律得N＝N′＝mg

解得

從b釋放至a到達(dá)右端半圓軌道最高點(diǎn)過程中，

由能量守恒定律，有

解得: