Question

（2011?重慶模擬）如圖所示，光滑絕緣水平面上方有勻強電場E（圖中未畫出）．在O點用長為L的輕質不可伸長的絕緣細繩系一質量m=0.02kg、帶正電且電荷量q=4×10^-4C的小球A，使其在豎直平面內以速度v_A=2m/s沿順時針方向做勻速圓周運動，運動到最低點時與地面剛好不接觸．質量和電量與A完全相同的小球B以速度v_B=10m/s 水平向右運動且恰好能與A球在最低點發生正碰，并瞬間成為一個整體C （ A、B、C均可以看作質點且與地面剛好不接觸），碰后勻強電場大小立即變為E′=

3

E，方向變為水平向右方向．（不考慮 A、B 兩小球間庫侖力作用）取g=10m/s²．求：
（ 1 ）勻強電場的電場強度E的大小和方向；
（ 2 ）A、B兩小球正碰成為一個整體C的速度大小；
（ 3 ）要使整體C在隨后的運動過程中，能在豎直面內作完整的圓周運動，繩長L應滿足的條件．

Answer 1

分析：（1）對小球受力分析，受到重力、電場力和繩子的拉力，由于小球A在豎直平面內做勻速圓周運動，故重力和電場力做的總功一直為零，故重力和電場力平衡，拉力提供向心力；
（2）根據動量守恒定律列式求解即可；
（3）要使整體C在隨后的運動過程中，能在豎直面內作完整的圓周運動，臨界條件是通過重力場和電場的復合場的最高點時，重力和電場力的合力恰好提供向心力，然后根據牛頓第二定律、動能定理列方程聯立求解．

解答：解：（1）小球A在豎直平面內做勻速圓周運動，所以受到的電場力與重力大小相等、方向相反，即有
qE=mg
解得E=500N/C
A球受到的電場力豎直向上，則電場方向豎直向上
即勻強電場的電場強度E的大小為500N/C，方向為豎直向上．
（2）設AB碰撞后瞬間整體C帶電量為Q，質量為M，速度為V
Q=2q=8×10^-4C，M=2m=0.04kg
由動量守恒，得到 mv_A-mv_B=MV
解得V=4m/s
即A、B兩小球正碰成為一個整體C的速度大小為4m/s．
（3）對C受力情況分析可知：C受電場力和重力的合力為恒力F，大小為F=2Mg，方向與豎直方向夾角為60°，其等效最高點為P點，即PO與豎直方向夾角為60°，F沿著PO方向．

要使整體C在隨后的運動過程中，能在豎直面內做完整的圓周運動，需C能通過P點，設繩子對C彈力為T，根據向心力公式，有
F+T=M

v 2 P

L

T≥0
得到vP≥

2gL

C由水平面運動到P點過程，根據動能定理，得到：
-Mg

3L

2

-QE′

3

2

L=

1

2

M

v

2 p

-

1

2

Mv2
解得：L≤0.2m
即繩子長度L應該滿足的條件：0＜L≤0.2m．

點評：本題關鍵是分析清楚各個小球的運動規律，然后根據牛頓第二定律和動能定理列方程聯立求解；難點在于將重力場和電場看作一個復合場進行處理，切入點在于小球恰好通過復合場的最高點．