Question

（2008?濰坊模擬）“嫦娥奔月”的過程可以簡化為：“嫦娥一號”升空后，繞地球沿橢圓軌道運動，遠地點A距地面高為h₁，在遠地點時的速度為v，然后經過變軌被月球捕獲，再經多次變軌，最終在距離月球表面高為h₂的軌道上繞月球做勻速圓周運動．
（1）已知地球半徑為R₁、表面的重力加速度為g₀，求“嫦娥一號”在遠地點A處的萬有引力產生的加速度a的大小；
（2）已知月球的質量為M、半徑為R₂，引力常量為G，求“嫦娥一號”繞月球運動的周期T．

Answer 1

分析：（1）嫦娥一號受到合力為地球的萬有引力，由牛頓第二定律可以求出A點處的加速度．
（2）月球對嫦娥一號的萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律可以求出其繞月運動的周期．

解答：解：（1）由牛頓第二定律得：
對嫦娥一號衛星：ma=G

Mm

r2

=G

Mm

(R1+h1)2

，
在地球表面的物體mg0=G

Mm

R12

，
解得：a=

R 2 1 g0

(R1+h1)2

；
（2）月球的萬有引力提供向心力，
由牛頓第二定律得：G

Mm

(R2+h2)2

=m(

2π

T

)2（R₂+h₂），
解得，嫦娥一號繞月運動的周期T=2π

(R2+h2)3 GM

；
答：（1）“嫦娥一號”在遠地點A處的萬有引力產生的加速度為

R 2 1 g0

(R1+h1)2

；
（2）“嫦娥一號”繞月球運動的周期2π

(R2+h2)3 GM

．

點評：萬有引力等于重力，萬有引力提供向心力，由萬有引力定律及牛頓第二定律可以正確解題．