Question

【題目】如圖所示,質量m1=1kg的木板靜止在傾角為θ=30°足夠長的、固定的光滑斜面上,木板下端上表而與半徑R=m的固定的光滑圓弧軌道相切圓弧軌道最高點B與圓心O等高.一質量m2=2kg、可視為質點的小滑塊以v0=15m/s的初速度從長木板頂端沿木板滑下已知滑塊與木板之間的動摩擦因數u=,木板每次撞擊圓弧軌道時都會立即停下而不反彈,最終滑未從木板上端滑出,取重力加速度g=10m/s2.求

(1)滑塊離開圓弧軌道B點后上升的最大高度;

(2)木板的最小長度;

(3)木板與圓弧軌道第二次碰撞時損失的機械能。

Answer 1

【答案】(1)9.75m (2)7.5m (3)

【解析】

(1)由滑塊與木板之間的動摩擦因數 可知，滑塊在木板上勻速下滑，即滑塊到達A點時速度大小依然為v0=15m/s，設滑塊離開圓弧軌道B點后上升的最大高度為h，則由機械能守恒定律可得：

解得：h=9.75m ；

(2) 由機械能守恒定律可得滑塊回到木板底端時速度大小為v0=15m/s，

滑上木板后，木板的加速的為a1，

由牛頓第二定律可知：μm2gcosθ－m1gsinθ=m1a1

滑塊的加速度為a2，

由牛頓第二定律可知：μm2gcosθ+m2gsinθ=m2a2

設經過t1時間后兩者共速，共同速度為v1，

由運動學公式可知：v1=v0－a2t1=a1t1

該過程中木板走過的位移：

滑塊走過的位移：

之后一起勻減速運動至最高點，若滑塊最終未從木板上端滑出，

則木板的最小長度：L=x2－x1

聯立解得：L=7.5m；

(3) 滑塊和木板一起勻減速運動至最高點，然后一起滑下，加速度均為a3，

由牛頓第二定律可知：(m1+m2)gsinθ=(m1+m2)a3

一起勻減速向上運動的位移：

木板從最高點再次滑至A點時的速度為v2，

由運動學公式可知： 滑塊第三次、第四次到達A點時的速度大小均為v2，第二次沖上木板，設又經過時間t2兩者共速，共同速度為v3，

由運動學公式可知：v3=v2－a2t2=a1t2

該過程中木板走過的位移：

一起勻減速向上運動的位移：

設木板第二次滑至A點時的速度為v4，由運動學公式可知：

木板與圓弧軌道第二次碰撞時損失的機械能為

聯立各式得： 。