Question

（20分）某甲設計了1個如圖所示的“自動噴泉”裝置，其中A、B、C為3個容器，D、E、F為3根細管，管栓K是關閉的．A、B、C及細管D、E中均盛有水，容器水面的高度差分別為和如圖所示．A、B、C的截面半徑為12cm，D的半徑為0.2cm．甲向同伴乙說：“我若擰開管栓K，會有水從細管口噴出．”乙認為不可能．理由是：“低處的水自動走向高外，能量從哪兒來？”甲當即擰開K，果然見到有水噴出，乙啞口無言，但不明白自己的錯誤所在．甲又進一步演示．在擰開管栓K前，先將噴管D的上端加長到足夠長，然后擰開K，管中水面即上升，最后水面靜止于某個高度處．

(1)論證擰開K后水柱上升的原因；

(2)當D管上端足夠長時，求擰開K后D中靜止水面與A中水面的高度差；

(3)論證水柱上升所需能量的來源。

Answer 1

解析：

實踐證明，甲的設計是正確的，所以乙的結論肯定是錯的。

（1）設大氣壓為，水的密度為。擰開前的情況如圖復的（a）圖所示。由流

體靜力學可知，、中氣體的壓強為

　　    （1）

中氣體的壓強為

                  （2）

由（1）、（2）兩式可得

即，當擰開后，中氣體壓強降至，此時

                   （3）

即管中容器水面以上的那一段水柱所受合力向上，所以管中水柱上升。

（2）擰開后，水柱上升，因管上端已足夠長，故水不會從管口噴出．設到中的水面靜止時中增加水量的體積為，則中減少水量的體積亦為，其水面將略有降低，因而及中氣體壓強路有下降，中的水將通過管流入中，當從流入水量的體積等于時，、中氣體壓強恢復原值。因為、、的半徑為管半徑的60倍，截面積比為3600倍，故、、中少量水的增減（）引起的、、中水面高度的變化可忽略不計，即和的數值保持不變。

設中水面靜止時與中水面的高度差為，（見圖（b）），則有

                     （4）

由此可得                                                     （5）

（3）將圖復（a）和(b)兩圖相比較可知，其差別在于體積為的水從移至中，另的水又由移入中，前者重力勢能減少，而后者重力勢能增大，前者的重力勢能減少量為

                                 （6）

中增加的水柱的重心離中水面的高度為，故后者的重力勢能增量為

                               （7）

即

由此可知，體積為的水由流入中減少的勢能的一部分轉化為同體積的水由進入中所需的勢能，其余部分則轉化為水柱的動能，故發生上下振動，中水面靜止處為平衡點．由于水與管間有摩擦等原因，動能逐步消耗，最后水面停留在距中水面處。